Math Problem Statement

Démontrer, grâce aux coordonnées cartésiennes, que |𝑧1𝑧2| = |𝑧1||𝑧2|

Solution

Pour démontrer que z1z2=z1z2|z_1 z_2| = |z_1| |z_2| en utilisant les coordonnées cartésiennes, nous allons partir de la forme cartésienne des nombres complexes z1z_1 et z2z_2.

Étape 1 : Représentation des nombres complexes

Soient z1=x1+iy1z_1 = x_1 + iy_1 et z2=x2+iy2z_2 = x_2 + iy_2, où x1,y1,x2,y2x_1, y_1, x_2, y_2 sont des réels et ii est l'unité imaginaire telle que i2=1i^2 = -1.

La norme (ou module) d'un nombre complexe z=x+iyz = x + iy est donnée par : z=x2+y2|z| = \sqrt{x^2 + y^2} Ainsi :

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Complex Numbers
Cartesian Coordinates
Modulus of Complex Numbers
Multiplication of Complex Numbers

Formulas

Modulus formula: |z| = √(x² + y²) for z = x + iy
Multiplication of complex numbers: z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)
Modulus of a product: |z1z2| = √((x1x2 - y1y2)² + (x1y2 + y1x2)²)

Theorems

Modulus of a Product Theorem: |z1z2| = |z1||z2|

Suitable Grade Level

Undergraduate level (or advanced high school for students familiar with complex numbers)