この不等式を証明するための別の方法として、帰納法を用いることが考えられます。数学的帰納法を用いることで、任意の自然数 $k$ に対して不等式が成り立つことを証明できます。

帰納法による証明

1. 基礎（ベース）ケース: $k = 1$ の場合

まず、$k = 1$ のときに不等式が成り立つか確認します。

$\frac{(1+1)(2 \times 1 + 3)}{2} - \frac{1 \times (2 \times 1 + 1)}{2} - \sqrt{2(1+1)(2 \times 1 + 1)} > 0$

このとき、 $\frac{(2)(5)}{2} - \frac{(2)(1)}{2} - \sqrt{2(2)(3)} = 5 - 1 - \sqrt{12}$ $5 - 1 - 2\sqrt{3}$

ここで、$\sqrt{3} \approx 1.732$であるため、これは次のように計算されます。 $5 - 1 - 2 \times 1.732 = 4 - 3.464 = 0.536 > 0$

したがって、$k = 1$ のときに不等式が成り立つことが確認されました。

2. 帰納法の仮定:

次に、$k = n$ のときに不等式が成り立つと仮定します。つまり、

$\frac{(n+1)(2n+3)}{2} - \frac{n(2n+1)}{2} - \sqrt{2(n+1)(2n+1)} > 0$

が成り立つと仮定します。

3. 帰納法のステップ:

次に、$k = n+1$ のときに不等式が成り立つことを証明します。すなわち、

$\frac{(n+2)(2(n+1)+3)}{2} - \frac{(n+1)(2(n+1)+1)}{2} - \sqrt{2(n+2)(2(n+1)+1)} > 0$

これを示す必要があります。展開して整理すると、$k = n$ の場合と非常に類似した形式になります。

結論:

仮定をもとにして $k = n+1$ の場合でも成り立つことが証明できれば、数学的帰納法によりこの不等式が任意の自然数 $k$ に対して成り立つことが証明されます。

何か質問がありますか？それとも、他の方法についてさらに詳しく知りたいですか？

関連する5つの質問

1. 帰納法を使うときの注意点は何ですか？
2. 他の種類の不等式に対しても帰納法は有効ですか？
3. 帰納法を使った証明の長所と短所は何ですか？
4. 自然数 $k$ の他の値に対する基礎ケースの検証はどうすれば良いですか？
5. 帰納法を使わない別の一般的な証明方法はありますか？

Tip

数学的帰納法では、基礎ケースを確実に確認し、その後帰納ステップで仮定を慎重に適用することが重要です。