En raisonnant par récurrence montrer que :2)  (∀n ∈ N* ) ∑  1  =  n

p=₁ 4p² − 1 2n + 1


Pour montrer que l'égalité donnée est vraie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), nous allons utiliser le **raisonnement par récurrence**. L'énoncé que nous devons démontrer est :

\[
\forall n \in \mathbb{N}^*, \ \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{n}{2n + 1}
\]

### Étape 1 : Initialisation
Montrons que la proposition est vraie pour \( n = 1 \).

Pour \( n = 1 \), la somme à gauche devient :
\[
\sum_{p=1}^{1} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{1}{4(1)^2 - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}
\]

La partie droite de l'égalité est :
\[
\frac{1}{2(1) + 1} = \frac{1}{3}
\]

Donc, l'égalité est vraie pour \( n = 1 \).

### Étape 2 : Hypothèse de récurrence
Supposons que la proposition est vraie pour un entier \( n \) quelconque, c'est-à-dire :
\[
\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{n}{2n + 1}
\]

### Étape 3 : Hérédité
Montrons que la proposition est vraie pour \( n + 1 \), c'est-à-dire :
\[
\sum_{p=1}^{n+1} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{n+1}{2(n+1) + 1}
\]

Nous avons :
\[
\sum_{p=1}^{n+1} \frac{1}{4p^2 - 1} = \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{4p^2 - 1} + \frac{1}{4(n+1)^2 - 1}
\]

D'après l'hypothèse de récurrence :
\[
\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{n}{2n + 1}
\]

Il reste donc à montrer que :
\[
\frac{n}{2n + 1} + \frac{1}{4(n+1)^2 - 1} = \frac{n+1}{2(n+1) + 1}
\]

Calculons le terme supplémentaire :
\[
\frac{1}{4(n+1)^2 - 1} = \frac{1}{(2n + 2)(2n + 0)} = \frac{1}{4n^2 + 4n + 1}
\]

Ajoutons ce terme à l'hypothèse de récurrence :
\[
\frac{n}{2n + 1} + \frac{1}{4n^2 + 4n + 1} = \frac{n(2n + 3) + 1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{2n^2 + 3n + 1}{(2n + 1)(2n + 3)}
\]

Le numérateur peut être factorisé comme \( (n + 1)(2n + 1) \), ce qui montre que l'égalité est vérifiée :
\[
\frac{n+1}{2n + 3} = \frac{n+1}{2(n+1) + 1}
\]

### Conclusion
La proposition est vraie pour \( n = 1 \) (initialisation), et si elle est vraie pour \( n \), elle l'est aussi pour \( n + 1 \) (hérédité). Par le principe de récurrence, la proposition est donc vraie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \).

---

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? 

Voici 8 questions supplémentaires pour approfondir :

1. Comment généraliser cette méthode de récurrence à d'autres types de séries ?
2. Quelle est l'importance de l'étape de vérification initiale dans une démonstration par récurrence ?
3. Peut-on démontrer cette égalité en utilisant une autre méthode que la récurrence ?
4. Comment simplifier le terme général dans la somme pour d'autres types de séries ?
5. Quelle est l'intuition derrière le raisonnement par récurrence ?
6. Pourquoi est-il essentiel de vérifier à chaque étape que l'égalité est maintenue ?
7. Comment pourrait-on représenter cette série graphiquement ?
8. Quel est le rôle du facteur \( \frac{1}{4p^2 - 1} \) dans la convergence de la somme ?

**Astuce** : Lors de l'utilisation du raisonnement par récurrence, vérifiez toujours que la base est bien établie avant de poursuivre avec l'étape d'hérédité.

Explore a detailed proof using mathematical induction to demonstrate the equality of a series summation. This problem involves rigorous mathematical reasoning and is suitable for advanced undergraduate students and above.

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