Pour montrer que l'égalité donnée est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, nous allons utiliser le raisonnement par récurrence. L'énoncé que nous devons démontrer est :

$\forall n \in \mathbb{N}^*, \ \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{n}{2n + 1}$

Étape 1 : Initialisation

Montrons que la proposition est vraie pour $n = 1$.

Pour $n = 1$, la somme à gauche devient : $\sum_{p=1}^{1} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{1}{4(1)^2 - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$

La partie droite de l'égalité est : $\frac{1}{2(1) + 1} = \frac{1}{3}$

Donc, l'égalité est vraie pour $n = 1$.

Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Supposons que la proposition est vraie pour un entier $n$ quelconque, c'est-à-dire : $\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{n}{2n + 1}$

Étape 3 : Hérédité

Montrons que la proposition est vraie pour $n + 1$, c'est-à-dire : $\sum_{p=1}^{n+1} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{n+1}{2(n+1) + 1}$

Nous avons : $\sum_{p=1}^{n+1} \frac{1}{4p^2 - 1} = \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{4p^2 - 1} + \frac{1}{4(n+1)^2 - 1}$

D'après l'hypothèse de récurrence : $\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{4p^2 - 1} = \frac{n}{2n + 1}$

Il reste donc à montrer que : $\frac{n}{2n + 1} + \frac{1}{4(n+1)^2 - 1} = \frac{n+1}{2(n+1) + 1}$

Calculons le terme supplémentaire : $\frac{1}{4(n+1)^2 - 1} = \frac{1}{(2n + 2)(2n + 0)} = \frac{1}{4n^2 + 4n + 1}$

Ajoutons ce terme à l'hypothèse de récurrence : $\frac{n}{2n + 1} + \frac{1}{4n^2 + 4n + 1} = \frac{n(2n + 3) + 1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{2n^2 + 3n + 1}{(2n + 1)(2n + 3)}$

Le numérateur peut être factorisé comme $(n + 1)(2n + 1)$, ce qui montre que l'égalité est vérifiée : $\frac{n+1}{2n + 3} = \frac{n+1}{2(n+1) + 1}$

Conclusion

La proposition est vraie pour $n = 1$ (initialisation), et si elle est vraie pour $n$, elle l'est aussi pour $n + 1$ (hérédité). Par le principe de récurrence, la proposition est donc vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

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Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 8 questions supplémentaires pour approfondir :

1. Comment généraliser cette méthode de récurrence à d'autres types de séries ?
2. Quelle est l'importance de l'étape de vérification initiale dans une démonstration par récurrence ?
3. Peut-on démontrer cette égalité en utilisant une autre méthode que la récurrence ?
4. Comment simplifier le terme général dans la somme pour d'autres types de séries ?
5. Quelle est l'intuition derrière le raisonnement par récurrence ?
6. Pourquoi est-il essentiel de vérifier à chaque étape que l'égalité est maintenue ?
7. Comment pourrait-on représenter cette série graphiquement ?
8. Quel est le rôle du facteur $\frac{1}{4p^2 - 1}$ dans la convergence de la somme ?

Astuce : Lors de l'utilisation du raisonnement par récurrence, vérifiez toujours que la base est bien établie avant de poursuivre avec l'étape d'hérédité.