Pour montrer que $5^n - 2^n$ est divisible par 3 pour tout $n \geq 1$, nous devons prouver que $5^n - 2^n \equiv 0 \pmod{3}$, c'est-à-dire que $5^n - 2^n$ donne un reste de 0 lorsqu'il est divisé par 3.

Preuve par récurrence

1. Initialisation (base de récurrence)

Commençons par vérifier la propriété pour $n = 1$ : $5^1 - 2^1 = 5 - 2 = 3$ Et comme $3 \div 3 = 1$, $3$ est divisible par $3$. Donc la propriété est vraie pour $n = 1$.

2. Hypothèse de récurrence

Supposons que la propriété est vraie pour un certain $n = k$, c'est-à-dire que $5^k - 2^k$ est divisible par 3. Autrement dit : $5^k - 2^k \equiv 0 \pmod{3}$

3. Étape de récurrence

Montrons que la propriété est vraie pour $n = k + 1$. Nous devons vérifier si $5^{k+1} - 2^{k+1}$ est divisible par 3.

Partons de l'expression suivante : $5^{k+1} - 2^{k+1} = 5 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k$ Utilisons l'hypothèse de récurrence : $5^k - 2^k \equiv 0 \pmod{3}$. Nous devons maintenant vérifier les propriétés de $5$ et $2$ modulo 3.

• $5 \equiv 2 \pmod{3}$ (car $5 \div 3$ donne un reste de 2).
• $2 \equiv 2 \pmod{3}$.

Nous pouvons alors réécrire l'expression modulo 3 : $5^{k+1} - 2^{k+1} = 5 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k \equiv 2 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k \pmod{3}$ Par l'hypothèse de récurrence, $5^k \equiv 2^k \pmod{3}$, donc : $5^{k+1} - 2^{k+1} \equiv 2 \cdot 2^k - 2 \cdot 2^k = 0 \pmod{3}$

Cela prouve que $5^{k+1} - 2^{k+1}$ est divisible par 3, et donc la propriété est vraie pour $n = k + 1$.

Conclusion

Par le principe de récurrence, nous avons montré que $5^n - 2^n$ est divisible par 3 pour tout $n \geq 1$.

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Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir :

1. Comment fonctionnent les preuves par récurrence ?
2. Pourquoi $5 \equiv 2 \pmod{3}$ ?
3. Quelles sont les autres techniques pour prouver des divisibilités ?
4. Pouvez-vous appliquer ce raisonnement à d'autres bases, comme $7^n - 4^n$ ?
5. Quels autres types de problèmes utilisent la récurrence ?

Astuce : Lorsque vous travaillez avec des congruences, il est utile de bien connaître les propriétés des petits nombres modulo.