montrer que 5**(n)-2**(n) divisible par 3

Pour montrer que \( 5^n - 2^n \) est divisible par 3 pour tout \( n \geq 1 \), nous devons prouver que \( 5^n - 2^n \equiv 0 \pmod{3} \), c'est-à-dire que \( 5^n - 2^n \) donne un reste de 0 lorsqu'il est divisé par 3.

### Preuve par récurrence

#### **1. Initialisation (base de récurrence)**

Commençons par vérifier la propriété pour \( n = 1 \) :
\[
5^1 - 2^1 = 5 - 2 = 3
\]
Et comme \( 3 \div 3 = 1 \), \( 3 \) est divisible par \( 3 \). Donc la propriété est vraie pour \( n = 1 \).

#### **2. Hypothèse de récurrence**

Supposons que la propriété est vraie pour un certain \( n = k \), c'est-à-dire que \( 5^k - 2^k \) est divisible par 3. Autrement dit :
\[
5^k - 2^k \equiv 0 \pmod{3}
\]

#### **3. Étape de récurrence**

Montrons que la propriété est vraie pour \( n = k + 1 \). Nous devons vérifier si \( 5^{k+1} - 2^{k+1} \) est divisible par 3.

Partons de l'expression suivante :
\[
5^{k+1} - 2^{k+1} = 5 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k
\]
Utilisons l'hypothèse de récurrence : \( 5^k - 2^k \equiv 0 \pmod{3} \). Nous devons maintenant vérifier les propriétés de \( 5 \) et \( 2 \) modulo 3.

- \( 5 \equiv 2 \pmod{3} \) (car \( 5 \div 3 \) donne un reste de 2).
- \( 2 \equiv 2 \pmod{3} \).

Nous pouvons alors réécrire l'expression modulo 3 :
\[
5^{k+1} - 2^{k+1} = 5 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k \equiv 2 \cdot 5^k - 2 \cdot 2^k \pmod{3}
\]
Par l'hypothèse de récurrence, \( 5^k \equiv 2^k \pmod{3} \), donc :
\[
5^{k+1} - 2^{k+1} \equiv 2 \cdot 2^k - 2 \cdot 2^k = 0 \pmod{3}
\]

Cela prouve que \( 5^{k+1} - 2^{k+1} \) est divisible par 3, et donc la propriété est vraie pour \( n = k + 1 \).

#### **Conclusion**

Par le principe de récurrence, nous avons montré que \( 5^n - 2^n \) est divisible par 3 pour tout \( n \geq 1 \).

---

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir :
1. Comment fonctionnent les preuves par récurrence ?
2. Pourquoi \( 5 \equiv 2 \pmod{3} \) ?
3. Quelles sont les autres techniques pour prouver des divisibilités ?
4. Pouvez-vous appliquer ce raisonnement à d'autres bases, comme \( 7^n - 4^n \) ?
5. Quels autres types de problèmes utilisent la récurrence ?

**Astuce** : Lorsque vous travaillez avec des congruences, il est utile de bien connaître les propriétés des petits nombres modulo.

Learn how to prove that 5^n - 2^n is divisible by 3 using mathematical induction. This detailed solution covers modular arithmetic and induction principles, making it ideal for high school students (Grades 10-12) studying number theory.

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