Pour démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, l'entier $N = n(n+2)(n-5)(n+5)$ est divisible par 4, nous devons montrer que 4 divise $N$ pour tout entier $n$.

Analysons les propriétés des facteurs de l'expression $N$:

1. L'expression de $N$ est un produit de quatre termes consécutifs de la forme $n(n+2)(n-5)(n+5)$, c’est-à-dire une combinaison d’entiers qui diffèrent de $n$ par des intervalles de 2 et de 5.

Étude des parités

Pour qu'un produit soit divisible par 4, il doit contenir au moins deux facteurs pairs. Concentrons-nous donc sur la parité des facteurs.

• $n$ peut être pair ou impair.

Cas 1 : $n$ est pair.

• Si $n$ est pair, alors $n$ est divisible par 2.
• $n+2$ est également pair car la somme d’un entier pair et de 2 est encore pair.

Ainsi, deux des termes du produit $n(n+2)(n-5)(n+5)$ sont pairs, ce qui implique que le produit est divisible par 4.

Cas 2 : $n$ est impair.

• Si $n$ est impair, alors $n+2$ est pair (la somme d’un impair et de 2 est pair).
• De même, $n-5$ et $n+5$ sont deux entiers impairs, mais comme $n+2$ est pair, et que nous avons un autre entier pair parmi $n-5$ et $n+5$, nous avons encore deux nombres pairs.

Dans les deux cas, le produit contient au moins deux nombres pairs, ce qui garantit que le produit est divisible par 4.

Conclusion

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, l'entier $N = n(n+2)(n-5)(n+5)$ est divisible par 4 car dans tous les cas, il contient au moins deux facteurs pairs.

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Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? Voici 5 questions supplémentaires liées à cette démonstration :

1. Quelles sont les propriétés de divisibilité par 4 pour un produit de nombres consécutifs ?
2. Comment prouver que la divisibilité par un nombre plus grand que 4 (par exemple, 8) fonctionne pour une expression similaire ?
3. Comment la parité influence-t-elle la divisibilité par les puissances de 2 ?
4. Que se passe-t-il si l’on étend cette expression à $n(n+2)(n-5)(n+5)(n+10)$ ?
5. Est-ce que cette démonstration fonctionne pour d'autres puissances de nombres premiers comme 3 ou 5 ?

Tip: Lors de la démonstration de divisibilité, l’analyse de la parité (pairs ou impairs) des facteurs est souvent cruciale pour déterminer les propriétés du produit.