Démontrer que, pour tout n e N, l'entier
N = n(n+2)(n -5)(n +5) est divisible par 4.

Pour démontrer que, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), l'entier \( N = n(n+2)(n-5)(n+5) \) est divisible par 4, nous devons montrer que 4 divise \( N \) pour tout entier \( n \).  

Analysons les propriétés des facteurs de l'expression \( N \):

1. L'expression de \( N \) est un produit de quatre termes consécutifs de la forme \( n(n+2)(n-5)(n+5) \), c’est-à-dire une combinaison d’entiers qui diffèrent de \( n \) par des intervalles de 2 et de 5.

### Étude des parités
Pour qu'un produit soit divisible par 4, il doit contenir au moins deux facteurs pairs. Concentrons-nous donc sur la parité des facteurs.

- \( n \) peut être pair ou impair.

#### Cas 1 : \( n \) est pair.
- Si \( n \) est pair, alors \( n \) est divisible par 2.
- \( n+2 \) est également pair car la somme d’un entier pair et de 2 est encore pair.
  
Ainsi, deux des termes du produit \( n(n+2)(n-5)(n+5) \) sont pairs, ce qui implique que le produit est divisible par 4.

#### Cas 2 : \( n \) est impair.
- Si \( n \) est impair, alors \( n+2 \) est pair (la somme d’un impair et de 2 est pair).
- De même, \( n-5 \) et \( n+5 \) sont deux entiers impairs, mais comme \( n+2 \) est pair, et que nous avons un autre entier pair parmi \( n-5 \) et \( n+5 \), nous avons encore deux nombres pairs.

Dans les deux cas, le produit contient au moins deux nombres pairs, ce qui garantit que le produit est divisible par 4.

### Conclusion
Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), l'entier \( N = n(n+2)(n-5)(n+5) \) est divisible par 4 car dans tous les cas, il contient au moins deux facteurs pairs.

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Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? Voici 5 questions supplémentaires liées à cette démonstration :
1. Quelles sont les propriétés de divisibilité par 4 pour un produit de nombres consécutifs ?
2. Comment prouver que la divisibilité par un nombre plus grand que 4 (par exemple, 8) fonctionne pour une expression similaire ?
3. Comment la parité influence-t-elle la divisibilité par les puissances de 2 ?
4. Que se passe-t-il si l’on étend cette expression à \( n(n+2)(n-5)(n+5)(n+10) \) ?
5. Est-ce que cette démonstration fonctionne pour d'autres puissances de nombres premiers comme 3 ou 5 ?

**Tip**: Lors de la démonstration de divisibilité, l’analyse de la parité (pairs ou impairs) des facteurs est souvent cruciale pour déterminer les propriétés du produit.

Démontrer que, pour tout n ∈ N, l'entier N = n(n+2)(n -5)(n +5) est divisible par 4.

Discover a detailed proof showing that N = n(n+2)(n-5)(n+5) is divisible by 4 for any integer n. This problem explores number theory concepts such as divisibility rules and the parity of integers, suitable for students in Grades 9-12.

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