Um die Behauptung zu beweisen, dass $f(x) = g(x)$ für alle $x \in I$, verwenden wir die Tatsache, dass $f$ und $g$ stetige Funktionen sind, und den Satz über die Dichtheit der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$. Der Beweis läuft wie folgt:

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Beweis:

1. Gegeben:

   • $I \subseteq \mathbb{R}$ ist ein Intervall mit mehr als einem Punkt.
   • $f, g : I \to \mathbb{R}$ sind stetige Funktionen.
   • $f(x) = g(x)$ für alle $x \in I \cap \mathbb{Q}$ (d.h., für alle rationalen Punkte im Intervall $I$).

2. Ziel:

   • Zeige: $f(x) = g(x)$ für alle $x \in I$.

3. Argumentation:

   • Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ sind dicht in $\mathbb{R}$. Das bedeutet, dass für jeden Punkt $x \in I$ eine Folge $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset I \cap \mathbb{Q}$ existiert, die gegen $x$ konvergiert.
   • Die Stetigkeit der Funktionen $f$ und $g$ garantiert, dass der Funktionswert an den Grenzpunkten von den Funktionswerten der Folge bestimmt wird.

4. Anwendung der Stetigkeit:

   • Sei $x \in I$ beliebig. Da $x_n \to x$ und $f$ sowie $g$ stetig sind, gilt: $f(x) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) \quad \text{und} \quad g(x) = \lim_{n \to \infty} g(x_n),$ wobei $x_n \in I \cap \mathbb{Q}$ (weil $f(x_n) = g(x_n)$ für alle $x_n$).
   • Da $f(x_n) = g(x_n)$ für alle $n$, folgt, dass: $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} g(x_n).$

5. Schlussfolgerung:

   • Für $x \in I$ folgt also: $f(x) = g(x).$

6. Ergebnis:

   • Da $x \in I$ beliebig war, gilt $f(x) = g(x)$ für alle $x \in I$.

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Fazit:

Die Behauptung ist bewiesen. Da $f(x) = g(x)$ auf der dichten Menge $I \cap \mathbb{Q}$ übereinstimmt und $f$ sowie $g$ stetig sind, folgt die Gleichheit auch auf dem gesamten Intervall $I$.

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Tipp: Die Dichtheit von $\mathbb{Q}$ ist oft ein Schlüsselfaktor bei der Übertragung von Eigenschaften von rationalen auf reelle Zahlen!