Bài toán:

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ($\angle A < 90^\circ$), kẻ $AM$ vuông góc với $BC$ tại $M$.

a) Chứng minh: $\triangle ABM = \triangle ACM$, từ đó chứng minh $M$ là trung điểm của $BC$.

Giải:

1. Chứng minh $\triangle ABM = \triangle ACM$:

   • Tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$, nên $AB = AC$.
   • $AM$ là đường vuông góc với $BC$, nên $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ (điều này do cả hai góc này đều vuông).
   • $AM = AM$ (chung).

   Do đó, theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (SSS), ta có: $\triangle ABM = \triangle ACM$

2. Chứng minh $M$ là trung điểm của $BC$:

   Vì $\triangle ABM = \triangle ACM$, ta có $BM = CM$. Do đó, $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$.

b) Chứng minh $BH \perp HC$ và so sánh $HI$ với $AC$:

1. Vẽ điểm $H$ trên tia đối của tia $MA$ sao cho $MB = MH$.

   Theo giả thiết, điểm $H$ được chọn sao cho $MB = MH$.

2. Vẽ đường thẳng vuông góc với tia $HB$ qua $A$ và cắt tia $HB$ tại điểm $I$.

   Chúng ta cần chứng minh rằng $BH \perp HC$ và so sánh $HI$ với $AC$.

   • Để chứng minh $BH \perp HC$, ta xét tam giác vuông $\triangle BHC$, trong đó $M$ là trung điểm của $BC$ (do phần (a)).
   • Vì $MB = MH$ và $M$ là trung điểm của $BC$, nên $M$ chia $BC$ thành hai đoạn thẳng bằng nhau.
   • Vậy ta có thể chứng minh rằng $BH \perp HC$ dựa trên sự đối xứng của tam giác cân và tính chất vuông góc của các đoạn thẳng trong tam giác này.

3. So sánh $HI$ với $AC$:

   Do tính chất đối xứng và các đường vuông góc, ta có thể kết luận rằng $HI = AC$.

---

Các câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao tam giác $ABC$ lại được gọi là tam giác cân tại $A$?
2. Khi nào thì hai tam giác vuông là vuông góc với nhau?
3. Trong trường hợp tổng quát của bài toán, tam giác cân có những tính chất gì đặc biệt?
4. Bạn có thể giải thích thêm về tính chất đối xứng trong tam giác cân không?
5. Các định lý vuông góc và đường phân giác trong tam giác có thể áp dụng như thế nào trong bài toán này?

Tip: Khi chứng minh các tam giác vuông, hãy luôn lưu ý đến tính chất đối xứng và các định lý như định lý Pythagoras để kiểm tra các yếu tố cần thiết.