Bài toán:

Cho tam giác $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$, các điểm $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Kẻ $AK \perp CM$ ($K \in CM$), $H$ là trung điểm của $CK$.

a) Chứng minh $\triangle AKM = \triangle CHN$

Chứng minh:

1. Trong $\triangle ABC$:

   • Tam giác vuông cân tại $A$, suy ra $AB = AC$.
   • $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$, nên $AM = MB$ và $AN = NC$.

2. Xét hai tam giác $\triangle AKM$ và $\triangle CHN$:

   • $AM = CN$ (vì $M, N$ là trung điểm của $AB$, $AC$, và $AB = AC$).
   • $\widehat{AKM} = \widehat{CHN} = 90^\circ$ (do $AK \perp CM$).
   • $AK = CH$ (do $H$ là trung điểm của $CK$).

   Kết luận: $\triangle AKM = \triangle CHN$ theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c).

---

b) Tính số đo của góc $\angle AKB$

Phân tích:

• Tam giác $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$, nên $\angle BAC = 45^\circ$, $\angle ABC = 90^\circ$, và $\angle BCA = 45^\circ$.
• $AK$ vuông góc với $CM$, nên $\angle AKB = \angle BAC = 45^\circ$.

Kết quả: $\angle AKB = 45^\circ$.

---

c) Chứng minh $BH \parallel AC$

Chứng minh:

1. Vì $H$ là trung điểm của $CK$, nên $CH = HK$.

2. Trong tam giác $\triangle ABC$, $CM$ là đường trung tuyến, và $AK \perp CM$.

3. Xét tam giác $\triangle CHK$:

   • $CH = HK$, nên $H$ là trung điểm.
   • $BH$ song song với $AC$ (do $BH$ là đường trung bình trong tam giác vuông).

Kết luận: $BH \parallel AC$.

---

Bạn có muốn giải thích chi tiết hơn không? Hoặc có cần đồ thị minh họa cho bài toán không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để tính toán tọa độ của các điểm nếu bài toán cho hệ trục tọa độ?
2. Nếu $AB = 6$, hãy tính độ dài các đoạn $AK$, $CK$.
3. Chứng minh rằng $AK = CH$ bằng phương pháp khác.
4. Với giả thiết mới $K$ là trung điểm của $AB$, liệu các tam giác có đồng dạng không?
5. Làm thế nào để mở rộng bài toán này nếu tam giác không vuông cân?

Mẹo: Khi giải các bài toán hình học, luôn xác định rõ các tính chất trung điểm, trung tuyến, và quan hệ vuông góc.