Pour calculer la projection du vecteur $\mathbf{v}$ sur $\mathbf{w}$, on utilise la formule suivante :

$\text{proj}_{\mathbf{w}}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\mathbf{w} \cdot \mathbf{w}} \cdot \mathbf{w}$

Étapes :

1. Calcul du produit scalaire $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$ : $\mathbf{v} = (2, -8), \quad \mathbf{w} = (-5, -1)$ $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = (2 \times -5) + (-8 \times -1) = -10 + 8 = -2$

2. Calcul du produit scalaire $\mathbf{w} \cdot \mathbf{w}$ : $\mathbf{w} \cdot \mathbf{w} = (-5 \times -5) + (-1 \times -1) = 25 + 1 = 26$

3. Calcul de la projection : $\text{proj}_{\mathbf{w}}(\mathbf{v}) = \frac{-2}{26} \cdot (-5, -1) = \frac{-2}{26} \cdot (-5, -1) = \left(\frac{10}{26}, \frac{2}{26}\right)$

   Simplification : $\text{proj}_{\mathbf{w}}(\mathbf{v}) = \left(\frac{5}{13}, \frac{1}{13}\right)$

Conclusion :

La projection du vecteur $\mathbf{v} = (2, -8)$ sur $\mathbf{w} = (-5, -1)$ est $\left(\frac{5}{13}, \frac{1}{13}\right)$.

Questions supplémentaires :

1. Comment interpréter la projection d'un vecteur géométriquement ?
2. Quelles sont les propriétés du produit scalaire utilisées dans ce calcul ?
3. Comment calculer la norme d'un vecteur ?
4. Pourquoi utilisons-nous le produit scalaire pour déterminer la projection ?
5. Quelles sont les applications de la projection dans des problèmes géométriques ?

Astuce : La projection d'un vecteur sur un autre permet de trouver la "composante" du vecteur dans la direction du second vecteur, ce qui est utile dans des applications comme la décomposition de forces en physique.