Давайте решим задачу. Условие говорит, что угол между ортами $\mathbf{e}$ и $\mathbf{i}$ равен $\frac{3\pi}{4}$. Нужно найти проекцию орта $\mathbf{e}$ на ось абсцисс.

1. Орт $\mathbf{i}$ — это единичный вектор вдоль оси абсцисс (направление $x$).

2. Проекция вектора на ось абсцисс определяется формулой: $\text{Проекция} = |\mathbf{e}| \cdot \cos\theta,$ где $\theta = \frac{3\pi}{4}$ — угол между $\mathbf{e}$ и осью $x$.

3. Поскольку $\mathbf{e}$ — орт (единичный вектор), его длина $|\mathbf{e}| = 1$.

4. Значение косинуса при $\theta = \frac{3\pi}{4}$: $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

5. Подставляем в формулу проекции: $\text{Проекция} = 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Ответ: Проекция орта $\mathbf{e}$ на ось абсцисс равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

---

Вопросы:

1. Почему косинус угла $\frac{3\pi}{4}$ равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$?
2. Как вычислить проекцию вектора на другую ось (например, ось $y$)?
3. Что изменится в решении, если длина вектора $\mathbf{e}$ не равна единице?
4. Как связаны длина вектора и его проекции на координатные оси?
5. Какие еще углы дают аналогичную проекцию на ось $x$?

Совет: При решении задач на проекции помните, что знак косинуса зависит от квадранта, в котором расположен угол.