U := {(x1 x2 x3)⊤ ∈ R3 : x1 = −x2,x2 = −x3}に対して，直交補空間U⊥ に沿ってのU の上への射影子を f : R3 →U とする．このとき，U⊥とf(x)=Axとなる行列Aを求めなさい

この問題を解くためには、部分空間 \( U \) の特徴を把握し、それに基づいて直交補空間 \( U^\perp \) を求め、射影行列 \( A \) を導出する必要があります。

### 1. 部分空間 \( U \) の特徴
与えられた部分空間 \( U \) は以下の条件を満たすベクトルの集合です：
\[
U := \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 : x_1 = -x_2, \, x_2 = -x_3 \right\}
\]
この条件から、\( U \) の元は次のように書けます：
\[
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_2 \\ x_2 \\ -x_2 \end{pmatrix} = x_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
\]
したがって、\( U \) はベクトル \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) によって張られる1次元部分空間です。

### 2. 直交補空間 \( U^\perp \) の求め方
\( U^\perp \) は \( U \) に直交するすべてのベクトルからなる部分空間です。\( \mathbf{v}_1 \) に直交するベクトルは次の条件を満たします：
\[
\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v} = 0
\]
これを展開すると：
\[
- v_1 + v_2 - v_3 = 0
\]
したがって、\( v_1 = v_2 + v_3 \) となります。したがって、\( U^\perp \) の基底は次の2つのベクトルで表されます：
\[
\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
よって、\( U^\perp \) はこの2つのベクトルによって張られる2次元部分空間です。

### 3. 射影行列 \( A \) の導出
任意のベクトル \( \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \) を \( U \) 上に射影するには、射影行列 \( A \) を次のように求めます：
\[
A = \frac{\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_1^\top}{\mathbf{v}_1^\top \mathbf{v}_1}
\]
ここで、\( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) ですので、
\[
\mathbf{v}_1^\top \mathbf{v}_1 = (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3
\]
したがって、
\[
A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
\]

### 結論
求める行列 \( A \) は次のようになります：
\[
A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
\]

これで、直交補空間 \( U^\perp \) と射影行列 \( A \) が求められました。質問や詳細が必要であればお知らせください。

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### 関連する質問

1. 他の具体的な部分空間に対する射影行列の計算方法は？
2. 射影行列の一般的な性質は？
3. ユークリッド空間の直交補空間に関する応用例は？
4. 部分空間とその直交補空間の関係を調べる別の例題は？
5. グラム・シュミットの正規直交化法の説明は？
6. 射影行列と線形変換の関係は？
7. 線形代数における射影の役割とは？
8. 直交射影行列が冪等である理由は？

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**Tip:** 射影行列は、常に対称かつ冪等である性質を持ちます。

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