Math Problem Statement
U := {(x1 x2 x3)⊤ ∈ R3 : x1 = −x2,x2 = −x3}に対して,直交補空間U⊥ に沿ってのU の上への射影子を f : R3 →U とする.このとき,U⊥とf(x)=Axとなる行列Aを求めなさい
Solution
この問題を解くためには、部分空間 の特徴を把握し、それに基づいて直交補空間 を求め、射影行列 を導出する必要があります。
1. 部分空間 の特徴
与えられた部分空間 は以下の条件を満たすベクトルの集合です: この条件から、 の元は次のように書けます: したがって、 はベクトル によって張られる1次元部分空間です。
2. 直交補空間 の求め方
は に直交するすべてのベクトルからなる部分空間です。 に直交するベクトルは次の条件を満たします: これを展開すると: したがって、 となります。したがって、 の基底は次の2つのベクトルで表されます: よって、 はこの2つのベクトルによって張られる2次元部分空間です。
3. 射影行列 の導出
任意のベクトル を 上に射影するには、射影行列 を次のように求めます: ここで、 ですので、 したがって、
結論
求める行列 は次のようになります:
これで、直交補空間 と射影行列 が求められました。質問や詳細が必要であればお知らせください。
関連する質問
- 他の具体的な部分空間に対する射影行列の計算方法は?
- 射影行列の一般的な性質は?
- ユークリッド空間の直交補空間に関する応用例は?
- 部分空間とその直交補空間の関係を調べる別の例題は?
- グラム・シュミットの正規直交化法の説明は?
- 射影行列と線形変換の関係は?
- 線形代数における射影の役割とは?
- 直交射影行列が冪等である理由は?
Tip: 射影行列は、常に対称かつ冪等である性質を持ちます。
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Subspaces
Orthogonal Complement
Projection Matrix
Formulas
Projection matrix formula A = vv^T / v^T v
Theorems
-
Suitable Grade Level
Advanced Undergraduate
Related Recommendation
Orthogonal Projection Matrix onto a Subspace in R2
Find the Orthogonal Projection Matrix onto Subspace W in R^3
Solve Linear Transformation, Projection, and Matrix Representation Problems with Detailed Explanations
Orthonormal Basis and Orthogonal Projection in Real Inner Product Space M2,2(R)
Matrix Projection onto Subspace and Eigenvalue Analysis