Math Problem Statement

U := {(x1 x2 x3)⊤ ∈ R3 : x1 = −x2,x2 = −x3}に対して,直交補空間U⊥ に沿ってのU の上への射影子を f : R3 →U とする.このとき,U⊥とf(x)=Axとなる行列Aを求めなさい

Solution

この問題を解くためには、部分空間 UU の特徴を把握し、それに基づいて直交補空間 UU^\perp を求め、射影行列 AA を導出する必要があります。

1. 部分空間 UU の特徴

与えられた部分空間 UU は以下の条件を満たすベクトルの集合です: U:={(x1x2x3)R3:x1=x2,x2=x3}U := \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 : x_1 = -x_2, \, x_2 = -x_3 \right\} この条件から、UU の元は次のように書けます: (x1x2x3)=(x2x2x2)=x2(111)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_2 \\ x_2 \\ -x_2 \end{pmatrix} = x_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} したがって、UU はベクトル v1=(111)\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} によって張られる1次元部分空間です。

2. 直交補空間 UU^\perp の求め方

UU^\perpUU に直交するすべてのベクトルからなる部分空間です。v1\mathbf{v}_1 に直交するベクトルは次の条件を満たします: v1v=0\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v} = 0 これを展開すると: v1+v2v3=0- v_1 + v_2 - v_3 = 0 したがって、v1=v2+v3v_1 = v_2 + v_3 となります。したがって、UU^\perp の基底は次の2つのベクトルで表されます: v2=(110),v3=(101)\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} よって、UU^\perp はこの2つのベクトルによって張られる2次元部分空間です。

3. 射影行列 AA の導出

任意のベクトル x=(x1x2x3)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}UU 上に射影するには、射影行列 AA を次のように求めます: A=v1v1v1v1A = \frac{\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_1^\top}{\mathbf{v}_1^\top \mathbf{v}_1} ここで、v1=(111)\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} ですので、 v1v1=(1)2+12+(1)2=3\mathbf{v}_1^\top \mathbf{v}_1 = (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3 したがって、 A=13(111)(111)=13(111111111)A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

結論

求める行列 AA は次のようになります: A=13(111111111)A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

これで、直交補空間 UU^\perp と射影行列 AA が求められました。質問や詳細が必要であればお知らせください。


関連する質問

  1. 他の具体的な部分空間に対する射影行列の計算方法は?
  2. 射影行列の一般的な性質は?
  3. ユークリッド空間の直交補空間に関する応用例は?
  4. 部分空間とその直交補空間の関係を調べる別の例題は?
  5. グラム・シュミットの正規直交化法の説明は?
  6. 射影行列と線形変換の関係は?
  7. 線形代数における射影の役割とは?
  8. 直交射影行列が冪等である理由は?

Tip: 射影行列は、常に対称かつ冪等である性質を持ちます。

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Subspaces
Orthogonal Complement
Projection Matrix

Formulas

Projection matrix formula A = vv^T / v^T v

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced Undergraduate