Este problema implica analizar la trayectoria de un proyectil y determinar en qué puntos el vector velocidad forma un ángulo de $45^\circ$ y $-45^\circ$ con la horizontal. Descompondremos la velocidad inicial y trabajaremos con los componentes de velocidad.

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Datos dados:

• Velocidad inicial ($v_0$) = $15 \, \text{m/s}$
• Ángulo inicial ($\theta_0$) = $60^\circ$
• Gravedad ($g$) = $9.81 \, \text{m/s}^2$

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Paso 1: Descomposición de la velocidad inicial

La velocidad inicial en los ejes $x$ y $y$: $v_{0x} = v_0 \cos(\theta_0), \quad v_{0y} = v_0 \sin(\theta_0)$ Sustituyendo: $v_{0x} = 15 \cos(60^\circ) = 7.5 \, \text{m/s}$ $v_{0y} = 15 \sin(60^\circ) = 12.99 \, \text{m/s}$

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Paso 2: Condición del ángulo del vector velocidad

El ángulo $\theta$ de la velocidad se relaciona con sus componentes como: $\tan(\theta) = \frac{v_y}{v_x}$ Cuando $\theta = 45^\circ$, entonces: $\tan(45^\circ) = 1 \implies v_y = v_x$ Cuando $\theta = -45^\circ$, entonces: $\tan(-45^\circ) = -1 \implies v_y = -v_x$

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Paso 3: Ecuación del movimiento vertical

La velocidad en el eje $y$ varía con el tiempo debido a la gravedad: $v_y = v_{0y} - g t$ Para $\theta = 45^\circ$: $v_y = v_x$ Sustituyendo $v_y$: $v_{0y} - g t = v_x$ Resolviendo para $t$: $t = \frac{v_{0y} - v_x}{g}$ Sustituyendo los valores: $t = \frac{12.99 - 7.5}{9.81} = 0.56 \, \text{s}$

Para $\theta = -45^\circ$: $v_y = -v_x$ Sustituyendo $v_y$: $v_{0y} - g t = -v_x$ Resolviendo para $t$: $t = \frac{v_{0y} + v_x}{g}$ Sustituyendo los valores: $t = \frac{12.99 + 7.5}{9.81} = 2.09 \, \text{s}$

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Paso 4: Posición del proyectil

La posición en $x$ y $y$ se calcula como: $x = v_{0x} t$ $y = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$

Para $t = 0.56 \, \text{s}$: $x = 7.5 \cdot 0.56 = 4.2 \, \text{m}$ $y = 12.99 \cdot 0.56 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (0.56)^2 = 7.28 \, \text{m}$

Para $t = 2.09 \, \text{s}$: $x = 7.5 \cdot 2.09 = 15.68 \, \text{m}$ $y = 12.99 \cdot 2.09 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (2.09)^2 = -0.01 \, \text{m} \, (\text{próximo a 0, el suelo})$

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Resultados finales

1. Cuando $\theta = 45^\circ$:

   • Tiempo: $t = 0.56 \, \text{s}$
   • Posición: $(x, y) = (4.2 \, \text{m}, 7.28 \, \text{m})$

2. Cuando $\theta = -45^\circ$:

   • Tiempo: $t = 2.09 \, \text{s}$
   • Posición: $(x, y) = (15.68 \, \text{m}, 0 \, \text{m})$

¿Te gustaría una explicación detallada de algún paso o realizar otro cálculo relacionado?

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Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el alcance máximo del proyectil para este disparo?
2. ¿Qué tiempo total permanece el proyectil en el aire?
3. ¿Cómo cambiarían los resultados si el ángulo inicial fuera $45^\circ$?
4. ¿Qué ocurre con las posiciones si la velocidad inicial es mayor?
5. ¿Cómo se determina la altura máxima alcanzada por el proyectil?

Tip: Cuando trabajes con proyectiles, las componentes horizontal y vertical de la velocidad son independientes y se pueden analizar por separado.