Для нахождения значений $x$ и $y$, при которых фирма-производитель получит максимальную прибыль, необходимо:

1. Задать функцию прибыли: $\Pi(x, y) = p \cdot K(x, y) - p_1 \cdot x - p_2 \cdot y,$ где:

   • $p$ — цена за единицу продукции (предполагается, что она известна),
   • $K(x, y) = 10 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[3]{y^2}$ — производственная функция,
   • $p_1 = 1$ и $p_2 = \frac{2}{3}$ — цены единиц ресурсов.

2. Подставить $K(x, y)$ и производные, чтобы найти максимум прибыли.

---

Шаг 1. Задание функции прибыли:

Подставляем $K(x, y)$: [ \Pi(x, y) = 10 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[3]{y^2} \cdot p - x - \frac{2}{3}y. ]

---

Шаг 2. Найдем частные производные и условия первого порядка:

Частные производные прибыли:

• По $x$: [ \frac{\partial \Pi}{\partial x} = p \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(10 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[3]{y^2}\right) - 1. ] Вычислим: $\frac{\partial K}{\partial x} = 10 \cdot \frac{1}{4}x^{-3/4} \cdot \sqrt[3]{y^2}.$ Тогда: $\frac{\partial \Pi}{\partial x} = p \cdot \frac{10}{4}x^{-3/4} \cdot \sqrt[3]{y^2} - 1.$

• По $y$: [ \frac{\partial \Pi}{\partial y} = p \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(10 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[3]{y^2}\right) - \frac{2}{3}. ] Вычислим: $\frac{\partial K}{\partial y} = 10 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \frac{2}{3}y^{-1/3}.$ Тогда: $\frac{\partial \Pi}{\partial y} = p \cdot 10 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \frac{2}{3}y^{-1/3} - \frac{2}{3}.$

---

Шаг 3. Условия максимума: Решаем систему: $\frac{\partial \Pi}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial y} = 0.$

1. Уравнение для $x$: $p \cdot \frac{10}{4}x^{-3/4} \cdot \sqrt[3]{y^2} - 1 = 0.$

2. Уравнение для $y$: $p \cdot 10 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot \frac{2}{3}y^{-1/3} - \frac{2}{3} = 0.$

Решим систему для нахождения $x$ и $y$.

---

Шаг 4. Решение системы.

Если известна цена $p$, подставим и упростим. Если неизвестна, результат выразим через $p$.from sympy import symbols, solve, Eq

Define variables

x, y, p = symbols('x y p', positive=True) p1, p2 = 1, 2/3

Production function K(x, y)

K = 10 * x**(1/4) * y**(2/3)

Profit function Pi(x, y)

Pi = p * K - p1 * x - p2 * y

Partial derivatives

dPi_dx = Pi.diff(x) dPi_dy = Pi.diff(y)

Solve the system of equations dPi/dx = 0 and dPi/dy = 0

solution = solve([Eq(dPi_dx, 0), Eq(dPi_dy, 0)], (x, y)) solution[(3906250000.0p**12, 15625000000.0p12)][(3906250000.0*p12, 15625000000.0*p**12)]successРешение системы показывает, что оптимальные значения $x$ и $y$ для максимизации прибыли выражаются через цену $p$:

$x = 3{,}90625 \cdot 10^9 \cdot p^{12}, \quad y = 1{,}5625 \cdot 10^{10} \cdot p^{12}.$

Если известна цена $p$, подставьте её для нахождения конкретных значений.

Вопросы для уточнения:

1. Известна ли цена продукции $p$, чтобы вычислить конкретные значения $x$ и $y$?
2. Нужно ли визуализировать производственную функцию $K(x, y)$?
3. Есть ли дополнительные ограничения на ресурсы $x$ и $y$?
4. Нужно ли рассчитать предельные значения для других цен ресурсов ($p_1, p_2$)?
5. Требуется ли объяснить процесс решения подробнее?

Совет: Подставьте реальные значения цены $p$, чтобы получить практическое решение.