Известны функции спроса и общих затрат фирмы с монопольной властью:

P = 200 – 3 Q                     TC = 40 Q + Q2 + 10000

Определите цену, при которой прибыль фирмы максимальна. Ответ запишите только числом.

Для нахождения цены, при которой прибыль максимальна, воспользуемся следующим алгоритмом:

1. **Выразим прибыль**:  
   \[
   \Pi = TR - TC = P \cdot Q - TC
   \]  
   где \( TR = P \cdot Q \).

2. **Найдем выручку (\( TR \)):**  
   Подставляем функцию спроса \( P = 200 - 3Q \) в формулу выручки:  
   \[
   TR = (200 - 3Q) \cdot Q = 200Q - 3Q^2
   \]

3. **Прибыль:**  
   \[
   \Pi = TR - TC = (200Q - 3Q^2) - (40Q + Q^2 + 10000)
   \]  
   Приводим подобные:  
   \[
   \Pi = 200Q - 3Q^2 - 40Q - Q^2 - 10000 = 160Q - 4Q^2 - 10000
   \]

4. **Максимизация прибыли (\( \frac{d\Pi}{dQ} = 0 \)):**  
   Находим производную:  
   \[
   \frac{d\Pi}{dQ} = 160 - 8Q
   \]  
   Приравниваем к нулю:  
   \[
   160 - 8Q = 0 \implies Q = 20
   \]

5. **Находим оптимальную цену (\( P \)):**  
   Подставляем \( Q = 20 \) в функцию спроса:  
   \[
   P = 200 - 3 \cdot 20 = 200 - 60 = 140
   \]

**Ответ: 140**

Известны функции спроса и общих затрат фирмы с монопольной властью: P = 200 – 3 Q TC = 40 Q + Q^2 + 10000 Определите цену, при которой прибыль фирмы максимальна. Ответ запишите только числом.

Explore how to determine the optimal price for maximum profit in a monopoly setting using demand and cost functions. This detailed example uses calculus and optimization techniques, including the first derivative test, to solve the problem. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation