Дано:

• Кривая спроса:
  $Q_d = 120 - 3P$
• Функция общих издержек:
  $TC = 10Q$

Необходимо найти:

1. Оптимальный выпуск, цену и прибыль монополиста при политике единой цены.
2. Оптимальный выпуск и прибыль при ценовой дискриминации 1-й степени.

Решение (Часть A - Политика единой цены)

1. Выразим цену через объем выпуска

Из уравнения спроса выразим $P$:

$P = \frac{120 - Q}{3}$

2. Найдем функцию выручки и предельной выручки

Выручка (TR) равна:

$TR = P \cdot Q = \left(\frac{120 - Q}{3}\right) Q = \frac{120Q - Q^2}{3}$

Предельная выручка (MR) — это производная от TR:

$MR = \frac{d}{dQ} \left(\frac{120Q - Q^2}{3} \right) = \frac{120 - 2Q}{3}$

3. Найдем предельные издержки (MC)

Так как $TC = 10Q$, предельные издержки:

$MC = \frac{d(TC)}{dQ} = 10$

4. Найдем оптимальный выпуск

Монополист максимизирует прибыль, приравнивая MR и MC:

$\frac{120 - 2Q}{3} = 10$

Решим уравнение:

$120 - 2Q = 30$

$2Q = 90$

$Q^* = 45$

5. Найдем цену

$P^* = \frac{120 - 45}{3} = \frac{75}{3} = 25$

6. Найдем прибыль

Прибыль:

$\Pi = TR - TC$

$TR = P \cdot Q = 25 \cdot 45 = 1125$

$TC = 10 \cdot 45 = 450$

$\Pi = 1125 - 450 = 675$

Ответ на часть A:
✅ $Q = 45$, $P = 25$, $\Pi = 675$

Решение (Часть B - Политика ценовой дискриминации 1-й степени)

При ценовой дискриминации 1-й степени монополист может продавать каждую единицу товара по максимальной цене, которую покупатель готов заплатить (по функции спроса).

Прибыль рассчитывается как:

$\Pi = \sum_{Q=1}^{Q_{\max}} P(Q) - TC(Q)$

Заменим функцию $P = \frac{120 - Q}{3}$ и издержки $TC = 10Q$:

$\Pi = \sum_{Q=1}^{120} \left( \frac{120 - Q}{3} \right) - 10Q$

Это суммирование геометрической прогрессии, что даёт:

$\Pi = \frac{(120)^2}{6} - 10 \cdot 120$

$\Pi = \frac{14400}{6} - 1200$

$\Pi = 2400 - 1200 = 1200$

Ответ на часть B:
✅ $Q = 120$, $\Pi = 1200$

Выводы:

• При единой цене фирма производит 45 единиц, цена 25, прибыль 675.
• При ценовой дискриминации 1-й степени фирма продаёт 120 единиц и получает 1200 прибыли.

❓ Хотите детальное объяснение какого-то шага?

📌 5 дополнительных вопросов:

1. Что такое предельный доход и как он связан с эластичностью спроса?
2. Почему монополист не выбирает просто максимальную цену?
3. Как изменится результат, если издержки будут квадратичными, например, $TC = 10Q + Q^2$?
4. Как графически изобразить равновесие монополиста?
5. Какие реальные примеры ценовой дискриминации 1-й степени можно привести?

💡 Совет:
Ценовая дискриминация 1-й степени встречается редко из-за сложности персонального ценообразования, но версии этой модели используются в аукционах и динамическом ценообразовании (например, авиабилеты).