हमसे पूछा गया है कि कक्षा के 12 छात्रों में से एक समूह का चयन करते समय, उस संभावना का पता लगाएँ कि चयनित समूह में कम से कम $3$ छात्र विज्ञान क्लब और $3$ छात्र गणित क्लब के सदस्य होंगे।

दिए गए आँकड़े:

• कुल छात्र = $12$
• विज्ञान क्लब के सदस्य = $7$
• गणित क्लब के सदस्य = $5$
• चयनित छात्रों की संख्या = $4$

कुल संभावनाएँ:

हम 12 छात्रों में से 4 छात्रों का चयन कर रहे हैं। कुल संभावित तरीकों की संख्या होगी: $\binom{12}{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ तो कुल संभावनाएँ $495$ हैं।

वांछित घटना:

हमें उस संभावना का पता लगाना है जिसमें चयनित समूह में कम से कम $3$ छात्र विज्ञान क्लब के और $3$ छात्र गणित क्लब के सदस्य हों।

यह मामला $4$ छात्रों के समूह पर लागू होता है। हम दो संभावित घटनाओं पर विचार करेंगे:

घटना 1: $3$ छात्र विज्ञान क्लब से और $3$ छात्र गणित क्लब से हों।

• विज्ञान क्लब के $3$ छात्र चुने गए: इसका तरीका $\binom{7}{3}$ होगा। $\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$
• अब गणित क्लब के $1$ छात्र चुने गए: इसका तरीका $\binom{5}{1}$ होगा। $\binom{5}{1} = 5$ तो इस घटना की कुल संभावनाएँ होंगी: $35 \times 5 = 175$

घटना 2: $4$ छात्र दोनों क्लबों के सदस्य हैं।

इस स्थिति में, विज्ञान और गणित दोनों क्लब के सदस्य केवल $3$ छात्र हो सकते हैं (यहां $x$ इंटरसेक्शन की जानकारी नहीं दी गई है, इसलिए इसे 'या' स्थिति में न रखें)। तो यह शिफ