एक कक्षा में \\(12\\) छात्र हैं, जिनमें से \\(7\\) छात्र विज्ञान क्लब के सदस्य हैं और \\(5\\) गणित क्लब के सदस्य हैं। एक शिक्षक इस कक्षा से \\(4\\) छात्रों का एक समूह चुनता है। यह मानते हुए कि समूह का चयन यादृच्छिक रूप से किया गया है, उस संभावना का पता लगाएं कि चयनित समूह में कम से कम \\(3\\) छात्र विज्ञान क्लब और \\(3\\) गणित क्लब के सदस्य होंगे।


हमसे पूछा गया है कि कक्षा के 12 छात्रों में से एक समूह का चयन करते समय, उस संभावना का पता लगाएँ कि चयनित समूह में कम से कम \(3\) छात्र विज्ञान क्लब और \(3\) छात्र गणित क्लब के सदस्य होंगे।

### दिए गए आँकड़े:
- कुल छात्र = \(12\)
- विज्ञान क्लब के सदस्य = \(7\)
- गणित क्लब के सदस्य = \(5\)
- चयनित छात्रों की संख्या = \(4\)

### कुल संभावनाएँ:
हम 12 छात्रों में से 4 छात्रों का चयन कर रहे हैं। कुल संभावित तरीकों की संख्या होगी:
\[
\binom{12}{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495
\]
तो कुल संभावनाएँ \(495\) हैं।

### वांछित घटना:
हमें उस संभावना का पता लगाना है जिसमें चयनित समूह में कम से कम \(3\) छात्र विज्ञान क्लब के और \(3\) छात्र गणित क्लब के सदस्य हों।

यह मामला \(4\) छात्रों के समूह पर लागू होता है। हम दो संभावित घटनाओं पर विचार करेंगे:

#### घटना 1: \(3\) छात्र विज्ञान क्लब से और \(3\) छात्र गणित क्लब से हों।
- विज्ञान क्लब के \(3\) छात्र चुने गए: इसका तरीका \(\binom{7}{3}\) होगा।
\[
\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35
\]
- अब गणित क्लब के \(1\) छात्र चुने गए: इसका तरीका \(\binom{5}{1}\) होगा।
\[
\binom{5}{1} = 5
\]
तो इस घटना की कुल संभावनाएँ होंगी:
\[
35 \times 5 = 175
\]

#### घटना 2: \(4\) छात्र दोनों क्लबों के सदस्य हैं।
इस स्थिति में, विज्ञान और गणित दोनों क्लब के सदस्य केवल \(3\) छात्र हो सकते हैं (यहां \(x\) इंटरसेक्शन की जानकारी नहीं दी गई है, इसलिए इसे 'या' स्थिति में न रखें)। तो यह शिफ

एक कक्षा में 12 छात्र हैं, जिनमें से 7 छात्र विज्ञान क्लब के सदस्य हैं और 5 गणित क्लब के सदस्य हैं। एक शिक्षक इस कक्षा से 4 छात्रों का एक समूह चुनता है। यह मानते हुए कि समूह का चयन यादृच्छिक रूप से किया गया है, उस संभावना का पता लगाएं कि चयनित समूह में कम से कम 3 छात्र विज्ञान क्लब और 3 गणित क्लब के सदस्य होंगे।

Find the probability that a randomly selected group of 4 students from a class of 12 includes at least 3 students who are members of both the science and math clubs. This problem explores combinatorics and probability concepts, including the combination formula. Suitable for Grades 10-12.

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