В урні 15 червоних, 9 синіх та 6 зелених куль однакового розміру. Навмання беруть 6 куль. Яка імовірність того, що будуть узяті 1 зелена, 2 синіх та 3 червоних кулі?

Задачу можна розв'язати, використовуючи формулу комбінаторної імовірності.

### Крок 1. Обчислимо загальну кількість можливих способів вибрати 6 куль з усіх 30:
Загальна кількість куль в урні: \( 15 \text{ червоних} + 9 \text{ синіх} + 6 \text{ зелених} = 30 \).

Кількість способів вибору 6 куль з 30:

\[
C(30, 6) = \frac{30!}{6!(30-6)!} = \frac{30!}{6!24!}
\]

### Крок 2. Обчислимо кількість сприятливих випадків:
- Вибираємо 1 зелену кулю з 6 зелених: \( C(6, 1) \)
- Вибираємо 2 сині кулі з 9 синіх: \( C(9, 2) \)
- Вибираємо 3 червоні кулі з 15 червоних: \( C(15, 3) \)

Отже, кількість сприятливих випадків буде:

\[
C(6, 1) \times C(9, 2) \times C(15, 3)
\]

### Крок 3. Знайдемо імовірність:
Імовірність того, що будуть взяті 1 зелена, 2 синіх та 3 червоних кулі, дорівнює відношенню кількості сприятливих випадків до загальної кількості можливих випадків:

\[
P = \frac{C(6, 1) \times C(9, 2) \times C(15, 3)}{C(30, 6)}
\]

Тепер обчислимо всі необхідні комбінації:

\[
C(6, 1) = 6, \quad C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2} = 36, \quad C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455
\]

Загальна кількість можливих способів вибрати 6 куль з 30:

\[
C(30, 6) = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 593775
\]

Тоді імовірність:

\[
P = \frac{6 \times 36 \times 455}{593775} = \frac{98280}{593775} \approx 0.1655
\]

### Відповідь:
Імовірність того, що будуть узяті 1 зелена, 2 синіх та 3 червоних кулі, дорівнює приблизно \( 0.1655 \) або 16.55%.

Чи бажаєте отримати більше деталей, чи є додаткові питання?

### 5 Запитань для продовження:
1. Як розраховуються комбінації \( C(n, k) \) у комбінаториці?
2. Що таке класична ймовірність і як вона використовується в задачах з урнами?
3. Як зміниться імовірність, якщо додати ще кілька зелених куль до урни?
4. Яка різниця між ймовірністю та статистикою в цьому контексті?
5. Як знайти ймовірність, якщо кулі витягуються не одночасно?

### Порада:
Запам'ятайте, що формула комбінаторики \( C(n, k) \) дає кількість способів вибору \( k \) об'єктів із \( n \), незалежно від порядку вибору.

Explore the probability of selecting 1 green, 2 blue, and 3 red balls from an urn containing 15 red, 9 blue, and 6 green balls. This problem covers combinatorics and probability concepts, applying the combination formula and calculating probability. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation