Em uma determinada classe de matemática, existe uma probabilidade de 5/7
de que um aluno escolhido aleatoriamente seja do sexo masculino. A probabilidade de que uma mulher escolhida aleatoriamente faça ciência da computação é de 1/6
. A probabilidade de que um homem escolhido aleatoriamente faça ciência da computação é 23/37
. Qual é a probabilidade de que um cientista da computação escolhido aleatoriamente seja do sexo feminino?

Para resolver o problema, vamos definir as probabilidades e usá-las para calcular a probabilidade desejada. Vamos utilizar a regra de Bayes para determinar a probabilidade de que um cientista da computação escolhido aleatoriamente seja do sexo feminino.

### Definindo as probabilidades

1. \( P(M) \): Probabilidade de um aluno ser do sexo masculino.
2. \( P(F) \): Probabilidade de um aluno ser do sexo feminino.
3. \( P(C|F) \): Probabilidade de uma mulher fazer ciência da computação.
4. \( P(C|M) \): Probabilidade de um homem fazer ciência da computação.
5. \( P(C) \): Probabilidade de um aluno fazer ciência da computação.
6. \( P(F|C) \): Probabilidade de uma pessoa do sexo feminino entre os alunos de ciência da computação.

Dado:
- \( P(M) = \frac{5}{7} \)
- \( P(F) = 1 - P(M) = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7} \)
- \( P(C|F) = \frac{1}{6} \)
- \( P(C|M) = \frac{23}{37} \)

### Calculando \( P(C) \)

A probabilidade total de um aluno fazer ciência da computação é a soma das probabilidades condicionais ponderadas pelas respectivas probabilidades marginais:

\[
P(C) = P(C|F) \cdot P(F) + P(C|M) \cdot P(M)
\]

Substituindo os valores fornecidos:

\[
P(C) = \left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{2}{7} \right) + \left( \frac{23}{37} \right) \cdot \left( \frac{5}{7} \right)
\]

Vamos calcular cada termo separadamente:

\[
P(C) = \left( \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 7} \right) + \left( \frac{23 \cdot 5}{37 \cdot 7} \right) = \left( \frac{2}{42} \right) + \left( \frac{115}{259} \right)
\]

Simplificando a primeira fração:

\[
\frac{2}{42} = \frac{1}{21}
\]

Agora, vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:

\[
\frac{1}{21} + \frac{115}{259}
\]

Para somar, precisamos do mesmo denominador. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 21 e 259 é 5439 (pois \( 21 \times 259 = 5439 \)):

\[
\frac{259}{5439} + \frac{2415}{5439} = \frac{259 + 2415}{5439} = \frac{2674}{5439}
\]

### Calculando \( P(F|C) \)

Usando a regra de Bayes:

\[
P(F|C) = \frac{P(C|F) \cdot P(F)}{P(C)}
\]

Substituindo os valores:

\[
P(F|C) = \frac{\left( \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{2}{7} \right)}{\frac{2674}{5439}}
\]

\[
P(F|C) = \frac{\frac{2}{42}}{\frac{2674}{5439}} = \frac{\frac{1}{21}}{\frac{2674}{5439}}
\]

Para resolver a divisão de frações, multiplicamos pelo inverso:

\[
P(F|C) = \frac{1}{21} \times \frac{5439}{2674} = \frac{5439}{21 \times 2674} = \frac{5439}{56154}
\]

Simplificando:

\[
P(F|C) = \frac{1}{10.33} \approx 0.0968
\]

Portanto, a probabilidade de que um cientista da computação escolhido aleatoriamente seja do sexo feminino é aproximadamente \( 0.0968 \) ou \( 9.68\% \).

### Perguntas Relacionadas

1. Como podemos usar a regra de Bayes para calcular outras probabilidades condicionais?
2. Qual é a importância de entender probabilidades condicionais em estatística?
3. Como a escolha das variáveis condicionais afeta o resultado da probabilidade total?
4. Como podemos simplificar a resolução de frações complexas?
5. Quais são outras aplicações da regra de Bayes em áreas fora da matemática?
6. Como a independência de eventos afeta o cálculo de probabilidades?
7. Qual é a diferença entre probabilidade marginal e probabilidade condicional?
8. Como as probabilidades condicionais mudam se as probabilidades marginais forem diferentes?

### Dica

Sempre verifique suas frações e simplifique-as quando possível para facilitar os cálculos e evitar erros.

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta sobre o processo de resolução?

Calculate the probability of randomly choosing a female computer scientist using Bayes' Theorem. Understand conditional probabilities in a math problem involving male and female students in a mathematics class.

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