7. Для участия с студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 чел, из второй 6, а из третьей - 5 студентов. Вероятности поласть в сборную университета для этих студентов соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,8.
Выбранный путем жеребьевки студент в итоге соревнования попал в сборную. К кахой группе вероятнее всего принадлежал этот студент?

Для решения этой задачи мы воспользуемся **формулой полной вероятности** и **формулой Байеса**.

Обозначим события:
- \( A_1 \) — студент из первой группы;
- \( A_2 \) — студент из второй группы;
- \( A_3 \) — студент из третьей группы;
- \( B \) — студент попал в сборную.

Из условия известно:
- Число студентов в первой группе: \( n_1 = 4 \);
- Число студентов во второй группе: \( n_2 = 6 \);
- Число студентов в третьей группе: \( n_3 = 5 \);
- Вероятности попасть в сборную:
  - \( P(B|A_1) = 0,9 \);
  - \( P(B|A_2) = 0,7 \);
  - \( P(B|A_3) = 0,8 \).

Общая вероятность того, что выбранный студент был из любой группы (условные вероятности):

1. Вероятность выбрать студента из первой группы: \( P(A_1) = \frac{4}{4 + 6 + 5} = \frac{4}{15} \).
2. Вероятность выбрать студента из второй группы: \( P(A_2) = \frac{6}{15} \).
3. Вероятность выбрать студента из третьей группы: \( P(A_3) = \frac{5}{15} \).

Теперь по **формуле полной вероятности** находим общую вероятность того, что выбранный студент попал в сборную:

\[
P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3)
\]

Подставим известные значения:

\[
P(B) = 0,9 \cdot \frac{4}{15} + 0,7 \cdot \frac{6}{15} + 0,8 \cdot \frac{5}{15}
\]
\[
P(B) = \frac{3,6}{15} + \frac{4,2}{15} + \frac{4}{15} = \frac{11,8}{15}
\]

Теперь воспользуемся **формулой Байеса** для нахождения вероятности того, что студент был из конкретной группы, при условии, что он попал в сборную:

\[
P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)}
\]

Для каждой группы:

1. Для первой группы:
\[
P(A_1|B) = \frac{0,9 \cdot \frac{4}{15}}{\frac{11,8}{15}} = \frac{3,6}{11,8} \approx 0,305
\]
2. Для второй группы:
\[
P(A_2|B) = \frac{0,7 \cdot \frac{6}{15}}{\frac{11,8}{15}} = \frac{4,2}{11,8} \approx 0,356
\]
3. Для третьей группы:
\[
P(A_3|B) = \frac{0,8 \cdot \frac{5}{15}}{\frac{11,8}{15}} = \frac{4}{11,8} \approx 0,339
\]

Таким образом, вероятнее всего студент принадлежал ко **второй группе** с вероятностью примерно 0,356.

Хочешь подробнее разобрать детали? 

5 вопросов для расширения:
1. Как применяется формула полной вероятности в других задачах?
2. Можно ли решить задачу другим способом, без формулы Байеса?
3. Какой вес имеет размер группы при вычислении вероятности?
4. Как изменится результат, если вероятности попадания в сборную увеличатся?
5. Как можно интерпретировать результат с точки зрения реальных соревнований?

Совет: при использовании формулы Байеса важно точно определить все вероятности и их зависимости!

Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса 4 чел, из второй 6, а из третьей - 5 студентов. Вероятности попасть в сборную университета для этих студентов соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,8. Выбранный путем жеребьевки студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот студент?

Solve a probability problem using Bayes' Theorem to determine the likelihood that a student selected for a university team belongs to a specific group. This problem explores the law of total probability and conditional probabilities with step-by-step calculations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation