Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой полной вероятности и формулой Байеса.

Обозначим события:

• $A_1$ — студент из первой группы;
• $A_2$ — студент из второй группы;
• $A_3$ — студент из третьей группы;
• $B$ — студент попал в сборную.

Из условия известно:

• Число студентов в первой группе: $n_1 = 4$;
• Число студентов во второй группе: $n_2 = 6$;
• Число студентов в третьей группе: $n_3 = 5$;
• Вероятности попасть в сборную:
  • $P(B|A_1) = 0,9$;
  • $P(B|A_2) = 0,7$;
  • $P(B|A_3) = 0,8$.

Общая вероятность того, что выбранный студент был из любой группы (условные вероятности):

1. Вероятность выбрать студента из первой группы: $P(A_1) = \frac{4}{4 + 6 + 5} = \frac{4}{15}$.
2. Вероятность выбрать студента из второй группы: $P(A_2) = \frac{6}{15}$.
3. Вероятность выбрать студента из третьей группы: $P(A_3) = \frac{5}{15}$.

Теперь по формуле полной вероятности находим общую вероятность того, что выбранный студент попал в сборную:

$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3)$

Подставим известные значения:

$P(B) = 0,9 \cdot \frac{4}{15} + 0,7 \cdot \frac{6}{15} + 0,8 \cdot \frac{5}{15}$ $P(B) = \frac{3,6}{15} + \frac{4,2}{15} + \frac{4}{15} = \frac{11,8}{15}$

Теперь воспользуемся формулой Байеса для нахождения вероятности того, что студент был из конкретной группы, при условии, что он попал в сборную:

$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)}$

Для каждой группы:

1. Для первой группы: $P(A_1|B) = \frac{0,9 \cdot \frac{4}{15}}{\frac{11,8}{15}} = \frac{3,6}{11,8} \approx 0,305$
2. Для второй группы: $P(A_2|B) = \frac{0,7 \cdot \frac{6}{15}}{\frac{11,8}{15}} = \frac{4,2}{11,8} \approx 0,356$
3. Для третьей группы: $P(A_3|B) = \frac{0,8 \cdot \frac{5}{15}}{\frac{11,8}{15}} = \frac{4}{11,8} \approx 0,339$

Таким образом, вероятнее всего студент принадлежал ко второй группе с вероятностью примерно 0,356.

Хочешь подробнее разобрать детали?

5 вопросов для расширения:

1. Как применяется формула полной вероятности в других задачах?
2. Можно ли решить задачу другим способом, без формулы Байеса?
3. Какой вес имеет размер группы при вычислении вероятности?
4. Как изменится результат, если вероятности попадания в сборную увеличатся?
5. Как можно интерпретировать результат с точки зрения реальных соревнований?

Совет: при использовании формулы Байеса важно точно определить все вероятности и их зависимости!