Ein Glücksrad habe 7 gleichgroße Felder, die mit den Zahlen 1,2,…,7 bezeichnet sind. Ein Spieler darf 10 mal drehen. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl des Auftretens von Feld „5“. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten (auf vier Nachkommastellen gerundet). 

P(X=1)=
P(X=2)=
P(X>2)=

**(b)** Bei obigem Glücksspiel erhält der Spieler 4 Euro, wenn das Feld „5” genau einmal erscheint. Erscheint das Feld „5” zweimal, so erhält er 6 Euro. Für mehr als zweimal Feld „5” erhält der Spieler 18 Euro. 

Welchen Betrag kann der Spieler als Auszahlung erwarten? (Durchschnittlicher Gewinn bei häufiger Wiederholung.)

Betrag in Euro:

**(c)** Der Einsatz für obiges Glücksspiel (b) beträgt 4  Euro. Ist das Spiel fair?

### Lösung für die Wahrscheinlichkeiten (Teil a)

Das Problem beschreibt ein Glücksrad mit 7 gleichgroßen Feldern, die jeweils mit den Zahlen \(1, 2, \ldots, 7\) gekennzeichnet sind. Die Zufallsvariable \(X\) beschreibt die Anzahl des Auftretens des Feldes „5“ in 10 Drehungen. Da die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Drehung das Feld „5“ auftritt, konstant ist, handelt es sich hier um eine Binomialverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Feld „5“ bei einer Drehung auftritt, beträgt:

\[
p = \frac{1}{7}
\]

Da es 10 Drehungen gibt, ist \(n = 10\). Die Zufallsvariable \(X\) folgt dann der Binomialverteilung:

\[
X \sim \text{Binomial}(n = 10, p = \frac{1}{7})
\]

#### (a) Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:

1. **Berechnung von \(P(X = 1)\):**

\[
P(X = 1) = \binom{10}{1} \left( \frac{1}{7} \right)^1 \left( \frac{6}{7} \right)^9
\]

2. **Berechnung von \(P(X = 2)\):**

\[
P(X = 2) = \binom{10}{2} \left( \frac{1}{7} \right)^2 \left( \frac{6}{7} \right)^8
\]

3. **Berechnung von \(P(X > 2)\):**

\[
P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)
\]

Wobei:

\[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
\]

Lassen Sie uns diese Werte berechnen.Die berechneten Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl des Auftretens von Feld „5“ sind:

1. \( P(X = 1) \approx 0.3568 \)
2. \( P(X = 2) \approx 0.2676 \)
3. \( P(X > 2) \approx 0.1616 \)

### Lösung für die erwartete Auszahlung (Teil b)

Für die erwartete Auszahlung berechnen wir den Erwartungswert \(E(X)\) der Auszahlung basierend auf den Gewinnbedingungen:

- 4 Euro, wenn Feld „5” genau einmal erscheint: \(P(X = 1) \cdot 4\)
- 6 Euro, wenn Feld „5” zweimal erscheint: \(P(X = 2) \cdot 6\)
- 18 Euro, wenn Feld „5” mehr als zweimal erscheint: \(P(X > 2) \cdot 18\)

Die erwartete Auszahlung berechnet sich somit als:

\[
E(G) = (P(X = 1) \cdot 4) + (P(X = 2) \cdot 6) + (P(X > 2) \cdot 18)
\]

Lassen Sie uns den erwarteten Betrag berechnen.Der erwartete Betrag, den der Spieler als Auszahlung erwarten kann, beträgt ungefähr **5,9414 Euro**.

### Lösung für die Fairness des Spiels (Teil c)

Um zu bestimmen, ob das Spiel fair ist, vergleichen wir den erwarteten Gewinn mit dem Einsatz. Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz ist. 

- Der Einsatz beträgt 4 Euro.
- Der erwartete Gewinn beträgt ca. 5,9414 Euro.

Da der erwartete Gewinn höher ist als der Einsatz, ist das Spiel aus der Sicht des Spielers vorteilhaft und somit **nicht fair** für den Betreiber.

Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen? Hier sind einige verwandte Fragen, die Sie interessieren könnten:

1. Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten für andere Werte von \(X\) (z. B. \(X = 3\))?
2. Was passiert mit der Fairness des Spiels, wenn der Einsatz erhöht wird?
3. Wie könnte man die Wahrscheinlichkeit für \(X > 5\) berechnen?
4. Welche Rolle spielt die Binomialverteilung in anderen Glücksspielen?
5. Wie würde sich der erwartete Gewinn ändern, wenn die Auszahlung für \(X = 2\) erhöht wird?

**Tipp:** Die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn kann auch durch Simulationen überprüft werden, indem viele Runden des Glücksspiels simuliert werden.

Ein Glücksrad habe 7 gleichgroße Felder, die mit den Zahlen 1,2,…,7 bezeichnet sind. Ein Spieler darf 10 mal drehen. Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl des Auftretens von Feld „5“. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten (auf vier Nachkommastellen gerundet). P(X=1)= P(X=2)= P(X>2)= (b) Bei obigem Glücksspiel erhält der Spieler 4 Euro, wenn das Feld „5” genau einmal erscheint. Erscheint das Feld „5” zweimal, so erhält er 6 Euro. Für mehr als zweimal Feld „5” erhält der Spieler 18 Euro. Welchen Betrag kann der Spieler als Auszahlung erwarten? (Durchschnittlicher Gewinn bei häufiger Wiederholung.) Betrag in Euro: (c) Der Einsatz für obiges Glücksspiel (b) beträgt 4 Euro. Ist das Spiel fair?

Solve a probability problem involving a wheel with 7 equal sections and 10 spins. Learn how to calculate probabilities for specific outcomes using binomial distribution, expected value, and analyze whether the game is fair based on expected payout.

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