руппу студентов, в которой находятся 10 девушек и 5 юношей, случайным
образом разбивают на пять подгрупп по три человека. Найти вероятность того,
что в каждой подгруппе будет юноша.

Задачу можно решить с помощью методов комбинаторики и теории вероятностей.

### 1. Общее количество способов разделить 15 студентов на 5 подгрупп по 3 человека

Общее количество способов выбрать 3 человека из 15 для первой подгруппы:

\[
C_1 = \binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455
\]

После этого остается 12 человек, из которых нужно выбрать 3 для второй подгруппы:

\[
C_2 = \binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220
\]

Для третьей подгруппы остается 9 человек:

\[
C_3 = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84
\]

Для четвертой подгруппы — 6 человек:

\[
C_4 = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
\]

Для пятой подгруппы — 3 человека:

\[
C_5 = \binom{3}{3} = 1
\]

Теперь общее количество способов разбить всех студентов на 5 подгрупп:

\[
C_{\text{total}} = C_1 \times C_2 \times C_3 \times C_4 \times C_5 = 455 \times 220 \times 84 \times 20 \times 1 = 168168000
\]

### 2. Число благоприятных исходов

Теперь рассмотрим случай, когда в каждой подгруппе есть один юноша и две девушки.

Мы сначала выбираем юношу для каждой подгруппы. Всего 5 юношей, и для каждой подгруппы нам нужно выбрать одного:

\[
C_{\text{юноши}} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
\]

Теперь для каждой подгруппы выбираем двух девушек. Для первой подгруппы выбираем двух девушек из 10:

\[
C_{\text{девушки 1}} = \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]

Для второй подгруппы выбираем двух девушек из 8:

\[
C_{\text{девушки 2}} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28
\]

Для третьей подгруппы — двух девушек из 6:

\[
C_{\text{девушки 3}} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
\]

Для четвертой подгруппы — двух девушек из 4:

\[
C_{\text{девушки 4}} = \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
\]

Для пятой подгруппы — двух девушек из 2:

\[
C_{\text{девушки 5}} = \binom{2}{2} = 1
\]

Теперь общее число благоприятных исходов:

\[
C_{\text{благоприятные}} = C_{\text{юноши}} \times C_{\text{девушки 1}} \times C_{\text{девушки 2}} \times C_{\text{девушки 3}} \times C_{\text{девушки 4}} \times C_{\text{девушки 5}}
\]

\[
C_{\text{благоприятные}} = 120 \times 45 \times 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 1360800
\]

### 3. Вероятность

Вероятность того, что в каждой подгруппе будет один юноша, равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[
P = \frac{C_{\text{благоприятные}}}{C_{\text{total}}} = \frac{1360800}{168168000} = \frac{1}{123.6} \approx 0.00809
\]

### Ответ:

Вероятность того, что в каждой подгруппе будет один юноша, равна приблизительно 0.00809 или 0.809%.

---

**Есть ли у вас вопросы или нужна дополнительная информация?**

Вот несколько похожих вопросов для практики:
1. Какова вероятность того, что в одной из подгрупп окажутся только девушки?
2. Как изменить задачу, если количество юношей и девушек равно?
3. Какова вероятность того, что в одной подгруппе окажутся два юноши и одна девушка?
4. Сколько способов можно распределить всех студентов без ограничения по полу?
5. Как изменится вероятность, если будет 6 подгрупп по 3 человека?

**Совет**: всегда проверяйте общие и благоприятные случаи для задачи вероятности, чтобы избежать ошибок в расчетах.

руппу студентов, в которой находятся 10 девушек и 5 юношей, случайным образом разбивают на пять подгрупп по три человека. Найти вероятность того, что в каждой подгруппе будет юноша.

Explore how to calculate the probability of dividing a group of 10 girls and 5 boys into 5 subgroups of 3 people, ensuring each subgroup contains one boy. This detailed solution involves combinatorics and probability theory, suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation