Math Problem Statement
این سوال را به فارسی حل کن
Solution
این مسئله مربوط به متغیرهای تصادفی و تابع چگالی احتمال است، که و دو متغیر تصادفی مستقل در بازه هستند. تابع به صورت زیر داده شده است:
\begin{cases} t, & 0 \leq t < 1 \\ 2 - t, & 1 \leq t < 2 \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}$$ ### حل: این تابع $$g(t)$$ نشان‌دهنده‌ی چگالی احتمال $$X + Y$$ است. به دلیل این‌که $$X$$ و $$Y$$ در بازه $$[0,1]$$ توزیع یکنواخت دارند و مستقل هستند، حاصل جمع آنها، یعنی $$X + Y$$، توزیع چگالی مثلثی خواهد داشت. #### گام‌های حل: 1. **بررسی توزیع یکنواخت:** - چون $$X$$ و $$Y$$ در بازه $$[0,1]$$ توزیع یکنواخت دارند، تابع چگالی احتمال هر یک به صورت $$f_X(x) = 1$$ و $$f_Y(y) = 1$$ است. 2. **جمع $$X + Y$$:** - تابع چگالی احتمال حاصل‌جمع دو متغیر تصادفی مستقل برابر است با کانولوشن توابع چگالی احتمال آنها: $$g(t) = (f_X * f_Y)(t) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x) f_Y(t - x) dx.$$ 3. **محاسبه‌ی کانولوشن:** - از آنجا که $$f_X(x)$$ و $$f_Y(y)$$ در بازه $$[0,1]$$ تعریف شده‌اند، بازه‌ی $$t$$ برای $$X + Y$$ در $$[0,2]$$ قرار دارد: - اگر $$0 \leq t < 1$$: $$g(t) = \int_0^t 1 \cdot 1 dx = t.$$ - اگر $$1 \leq t < 2$$: $$g(t) = \int_{t-1}^1 1 \cdot 1 dx = 2 - t.$$ 4. **تابع نهایی $$g(t)$$:** بنابراین تابع چگالی احتمال $$X + Y$$ برابر است با: $$g(t) = \begin{cases} t, & 0 \leq t < 1 \\ 2 - t, & 1 \leq t < 2 \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}$$ #### نتیجه: تابع $$g(t)$$ همان تابع چگالی احتمال برای $$X + Y$$ است که در شکل (88) به‌صورت یک توزیع مثلثی نشان داده شده است. --- آیا توضیحات بیشتری نیاز دارید؟ یا می‌خواهید سوال دیگری در این زمینه بپرسید؟ سوالات مرتبط: 1. چرا کانولوشن برای حاصل‌جمع متغیرهای تصادفی استفاده می‌شود؟ 2. آیا می‌توان تابع چگالی احتمال را برای سایر بازه‌ها محاسبه کرد؟ 3. چگونه می‌توان امید ریاضی و واریانس $$X + Y$$ را محاسبه کرد؟ 4. اگر $$X$$ و $$Y$$ یکنواخت نباشند، تابع $$g(t)$$ چگونه تغییر می‌کند؟ 5. ارتباط این توزیع با دیگر توزیع‌های پیوسته چیست؟ **نکته:** همیشه در کانولوشن بازه‌های انتگرال را بر اساس دامنه مشترک متغیرها تنظیم کنید.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Probability
Random Variables
Probability Density Function (PDF)
Uniform Distribution
Convolution
Formulas
g(t) = (f_X * f_Y)(t) = ∫ f_X(x) f_Y(t - x) dx
g(t) = t, for 0 ≤ t < 1
g(t) = 2 - t, for 1 ≤ t < 2
Theorems
Convolution of Probability Density Functions
Suitable Grade Level
Undergraduate (Probability and Statistics)
Related Recommendation
Derivation of Probability Density Function for Sum of Independent Variables
Probability Density Function of the Sum of Two Independent Normal Variables
Finding the Distribution of X + Y from Joint Density Function
Finding the PDF of the Sum of Independent Exponentially Distributed Variables
Finding the Probability Density Function of X - Y for Independent Random Variables