Math Problem Statement
به فارسی حل کن
Solution
برای حل این سوال:
صورت سوال را بررسی میکنیم: فرض کنید و دو متغیر تصادفی مستقل با توزیع پارامتری و باشند. نتیجه جملگی احتمال را بیابید.
راهحل:
1. استفاده از تابع توزیع چگالی احتمال و
برای متغیرهای تصادفی مستقل، چگالی احتمال مجموع یا تفاضل آنها از طریق کانولوشن چگالیهای هر یک به دست میآید: اینجا است و بنابراین:
2. جایگذاری چگالیهای و
اگر توزیعهای احتمال مشخص باشند (مثل یکنواخت، نرمال یا نمایی)، میتوان چگالیها را جایگذاری کرد و انتگرال را محاسبه کرد. این موضوع بستگی به شکل تابع توزیع چگالی دادهشده دارد.
3. مستقل بودن متغیرها
چون و مستقل هستند، تابع چگالی مشترک به صورت حاصلضرب تابعهای فردی است:
4. محاسبه احتمال کلی
پس از به دست آوردن ، میتوان هر احتمالی را با انتگرال گرفتن محاسبه کرد:
لطفاً مشخص کنید تابع توزیع و چیست تا محاسبات دقیق انجام شود.
سوالات مرتبط:
- اگر و دارای توزیع نرمال باشند، چگالی احتمال چیست؟
- در حالت کلی چگونه میتوان برای توزیعهای یکنواخت این انتگرال را ساده کرد؟
- چرا استقلال و شرط مهمی در این محاسبات است؟
- چگونه میتوان از کانولوشن برای جمع یا تفاضل متغیرهای تصادفی غیرمستقل استفاده کرد؟
- چه تکنیکهایی برای محاسبه سریعتر انتگرال کانولوشن پیشنهاد میشود؟
نکته:
برای حل مسائل ترکیبی، همیشه نوع توزیع احتمال متغیرها را بررسی کنید.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Probability
Random Variables
Independent Variables
Probability Density Function
Convolution
Formulas
f_{Z}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x) f_Y(z + x) dx
P(X - Y \leq a) = \int_{-\infty}^a f_{X-Y}(z) dz
Theorems
Convolution Theorem for Probability Density Functions
Suitable Grade Level
Undergraduate Level
Related Recommendation
Solution for |X - Y| Probability Distribution of Independent Random Variables
Finding the Distribution of X + Y from Joint Density Function
Solving for the Probability Density Function of the Sum of Two Independent Uniform Variables
Find and Graph the PDF of Z = X + Y for Independent Random Variables
Derivation of Probability Density Function for Sum of Independent Variables