Cet exercice concerne une boîte contenant 5 composants dont 2 sont défectueux. Un échantillon de 2 composants est prélevé sans remise. Nous devons calculer la probabilité de certains événements dans l'échantillon.

a) Calculer la probabilité d’observer exactement un composant défectueux :

Nous devons tirer un composant défectueux et un composant non défectueux.

Le nombre total de façons de choisir 2 composants parmi les 5 est donné par la combinaison : $C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10$ Ensuite, nous devons choisir un composant défectueux parmi les 2 disponibles, et un composant non défectueux parmi les 3 restants : $C(2, 1) \times C(3, 1) = 2 \times 3 = 6$ La probabilité d'observer exactement un composant défectueux est donc : $P(\text{exactement 1 défectueux}) = \frac{6}{10} = 0,6$

b) Calculer la probabilité d’observer aucun composant défectueux :

Pour n'avoir aucun composant défectueux, nous devons tirer 2 composants non défectueux parmi les 3 disponibles : $C(3, 2) = 3$ La probabilité d'observer aucun composant défectueux est donc : $P(\text{aucun défectueux}) = \frac{3}{10} = 0,3$

c) Calculer la probabilité d’observer au moins un composant défectueux :

Pour cette probabilité, nous pouvons utiliser le complément de l'événement précédent. La probabilité d'avoir au moins un défectueux est : $P(\text{au moins 1 défectueux}) = 1 - P(\text{aucun défectueux}) = 1 - 0,3 = 0,7$

Résumé :

• a) La probabilité d'observer exactement un composant défectueux est 0,6.
• b) La probabilité d'observer aucun composant défectueux est 0,3.
• c) La probabilité d'observer au moins un composant défectueux est 0,7.

Si vous avez des questions supplémentaires ou souhaitez des précisions sur certaines étapes, n'hésitez pas à me le faire savoir !

Questions supplémentaires :

1. Quelle est la probabilité d'observer 2 composants défectueux ?
2. Comment calculer les probabilités dans des situations avec plus de composants ?
3. Quelles différences existe-t-il entre les probabilités avec remise et sans remise ?
4. Comment pourrait-on utiliser un arbre de probabilité pour résoudre cet exercice ?
5. Que signifie "combinatoire" dans le contexte des probabilités ?

Astuce : Pour de tels exercices, il est souvent utile de maîtriser les concepts de combinaisons et de probabilités conditionnelles, en particulier dans des tirages sans remise.