Die Aufgaben betreffen die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Binomialverteilungen. Ich beantworte kurz jede Frage:

7a) Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt, da:

• Es handelt sich um eine feste Anzahl $n = 10$ an Sofas.
• Jede Sofa-Lieferung hat zwei mögliche Ergebnisse: fehlerhaft (mit Wahrscheinlichkeit $p = 0{,}05$) oder nicht fehlerhaft ($1 - p = 0{,}95$).
• Die Ergebnisse sind unabhängig voneinander.

7b) Der gegebene Ansatz: $0{,}05^2 \cdot 0{,}95^8 \cdot \binom{10}{2}$ berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 von 10 Sofas fehlerhaft sind. $\binom{10}{2}$ ist die Anzahl der Möglichkeiten, 2 fehlerhafte Sofas aus 10 auszuwählen, und die anderen Terme berücksichtigen die Wahrscheinlichkeiten.

8) Für die Gewinnlose: Die Wahrscheinlichkeit, unter 11 Losen genau 3 Gewinnlose zu haben, folgt einer Binomialverteilung: $P(X = 3) = p^3 \cdot (1-p)^8 \cdot \binom{11}{3}.$

• Erwartungswert für die Gewinnlose: $\mathbb{E}[X] = n \cdot p = 11 \cdot p$.

Möchten Sie Details zu einer der Fragen oder Erklärungen?

5 zusätzliche Fragen, um Ihr Wissen zu vertiefen:

1. Wie wird die Varianz einer Binomialverteilung berechnet, und wie könnte sie hier angewendet werden?
2. Was bedeutet der Begriff "Erwartungswert" in Bezug auf eine Zufallsvariable?
3. Warum ist die Annahme der Unabhängigkeit wichtig für die Binomialverteilung?
4. Wie wird der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ berechnet, und was ist seine Bedeutung?
5. Wie würde man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens ein Sofa fehlerhaft ist?

Tipp: In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es hilfreich, Formeln wie $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ zu verstehen und zu interpretieren.