Die **pq-Formel** ist eine Methode, um quadratische Gleichungen der Form

\[
x^2 + px + q = 0
\]

zu lösen. Dabei stehen \(p\) und \(q\) für beliebige Zahlen. Die pq-Formel lautet:

\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
\]

### Schritte zur Anwendung der pq-Formel:

1. **Gleichung in Standardform bringen**: Stelle die quadratische Gleichung in die Form \(x^2 + px + q = 0\). Achte darauf, dass der Koeffizient vor \(x^2\) gleich 1 ist. Falls nicht, dividiere die ganze Gleichung durch den Koeffizienten von \(x^2\).
   
2. **Werte für \(p\) und \(q\) einsetzen**: Identifiziere die Werte für \(p\) und \(q\) aus der Gleichung.

3. **pq-Formel anwenden**: Setze \(p\) und \(q\) in die Formel ein und berechne den Ausdruck unter der Wurzel (die **Diskriminante**).

4. **Lösungen berechnen**: Finde die zwei möglichen Lösungen durch das Anwenden von \(+\) und \(-\) vor der Wurzel (falls die Diskriminante nicht negativ ist).

### Beispiel:

Löse die Gleichung \(x^2 - 4x - 5 = 0\).

1. Die Gleichung hat die Form \(x^2 + px + q = 0\), wobei \(p = -4\) und \(q = -5\).
   
2. Setze die Werte in die pq-Formel ein:
   \[
   x_{1,2} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-5)}
   \]

3. Vereinfache:
   \[
   x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 5}
   \]
   \[
   x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{9}
   \]

4. Die Lösungen sind:
   \[
   x_1 = 2 + 3 = 5 \quad \text{und} \quad x_2 = 2 - 3 = -1
   \]

Die Lösungen der Gleichung \(x^2 - 4x - 5 = 0\) sind also \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\).

Möchtest du weitere Details zu einem bestimmten Schritt oder hast du Fragen?

### 5 Vertiefende Fragen:
1. Was passiert, wenn die Diskriminante negativ ist?
2. Kann die pq-Formel für alle quadratischen Gleichungen verwendet werden?
3. Wie leitet man die pq-Formel her?
4. Was sind die Vor- und Nachteile der pq-Formel im Vergleich zur allgemeinen Mitternachtsformel?
5. Wie verhalten sich die Lösungen der pq-Formel grafisch zu einer Parabel?

### Tipp:
Achte darauf, den Wert der Diskriminante (\(\Delta\)) immer zu überprüfen, um zu sehen, ob die Gleichung reale oder komplexe Lösungen hat.

Understand how to solve quadratic equations using the pq-formula. This method breaks down the steps needed to apply the pq-formula to equations of the form x^2 + px + q = 0. Learn how to calculate the discriminant and find real or complex solutions. Suitable for students in Grades 9-10.

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