Considere os anagramas formados com as letras da

palavra CORROBORAR nos quais não há duas vogais

em posições consecutivas.

Assim, a quantidade desses anagramas é igual a

Para resolver este problema, devemos calcular a quantidade de anagramas formados com as letras da palavra "CORROBORAR" em que não há duas vogais consecutivas. Vamos resolver passo a passo.

### Passo 1: Contagem das Letras
A palavra "CORROBORAR" possui 10 letras, sendo elas:
- Consoantes: C, R, R, B, R, R
- Vogais: O, O, O, A

### Passo 2: Distribuição das Consoantes
Primeiro, organizamos as consoantes. Como temos 6 consoantes (C, R, R, B, R, R), as permutações dessas consoantes podem ser calculadas considerando as repetições. A fórmula para permutações com repetição é:

\[
\frac{n!}{p_1! \cdot p_2! \cdot \ldots \cdot p_k!}
\]

Onde \(n\) é o total de elementos e \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) são as repetições de elementos distintos.

Para as consoantes C, R, R, B, R, R, temos:

\[
\frac{6!}{1! \cdot 4! \cdot 1!} = \frac{720}{24} = 30
\]

### Passo 3: Posicionamento das Vogais
Queremos distribuir as vogais de maneira que não haja duas vogais consecutivas. Após posicionar as consoantes, temos 7 espaços possíveis (um antes de cada consoante, um depois de cada consoante, e entre cada par de consoantes). Esses espaços podem ser representados assim:

\[
- C - R - R - B - R - R -
\]

Há 7 posições possíveis para colocar as 4 vogais, e devemos escolher 4 dessas posições. O número de maneiras de escolher 4 posições entre 7 é dado por:

\[
\binom{7}{4} = 35
\]

### Passo 4: Permutações das Vogais
As permutações das 4 vogais (O, O, O, A) considerando as repetições são:

\[
\frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{24}{6} = 4
\]

### Passo 5: Combinação Total
Multiplicamos o número de maneiras de organizar as consoantes, escolher as posições para as vogais e permutar as vogais dentro dessas posições:

\[
30 \times 35 \times 4 = 4200
\]

Portanto, a quantidade de anagramas formados com as letras da palavra "CORROBORAR" nos quais não há duas vogais em posições consecutivas é \(4200\).

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Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida? Aqui estão algumas perguntas que você pode querer perguntar:

1. Como resolver problemas de permutações com mais variáveis?
2. Como calcular combinações com repetições?
3. Como lidar com problemas de permutações sem repetições?
4. Quais são algumas estratégias para resolver problemas de anagramas?
5. O que são combinações e como são usadas em problemas de contagem?

**Dica:** Em problemas de anagramas, identificar e contabilizar corretamente as repetições é crucial para obter a resposta correta.

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