The positive rational numbers may be arranged i n the form of a simple series as follows: The posit ive rational numbers may be arranged in the form of a simple
series as follows:
1/1,2/1,1/2,3/1,2/2,1/3,4/1,3/2,2/3,1/4,.
Show that p/q is the [1/2(p+q-1)(p+q-2)+q]th ter m of the series.使用中文回答，步骤详细，解题思路清晰，适合低年级学生理解。

我们来逐步理解这个问题，并证明给定的公式 \( \frac{p}{q} \) 是第 \( \frac{1}{2}(p+q-1)(p+q-2)+q \) 项。

### 第一步：观察数列的排列方式
数列是按照以下方式排列的：

\[
1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, ...
\]

这个数列按对角线的方式进行排列，即按照分子和分母之和 \( p + q \) 的大小逐次排列。

例如：
- 第一组：\( p + q = 2 \)，只有 \( 1/1 \)；
- 第二组：\( p + q = 3 \)，包括 \( 2/1, 1/2 \)；
- 第三组：\( p + q = 4 \)，包括 \( 3/1, 2/2, 1/3 \)；
- 第四组：\( p + q = 5 \)，包括 \( 4/1, 3/2, 2/3, 1/4 \)；
- 依此类推。

我们发现，分子和分母的和 \( p + q \) 相同的项按顺序排列，并且每一组的项数与 \( p + q - 1 \) 相等。例如，当 \( p + q = 4 \) 时，有 3 项（因为 \( 4 - 1 = 3 \)）。

### 第二步：推导公式
根据这个排列规则，我们想找出 \( \frac{p}{q} \) 在数列中的位置。这个位置取决于两部分：
1. 在 \( p + q \) 之前的所有项数总和；
2. 在 \( p + q \) 这一组中的相对位置。

#### 1. 计算之前的所有项数
我们先计算在 \( p + q - 1 \) 之前的所有项数。可以看到，当 \( p + q = 2 \) 时，有 1 项；当 \( p + q = 3 \) 时，有 2 项；当 \( p + q = 4 \) 时，有 3 项；依此类推。

所以，所有这些项数的总和就是：
\[
1 + 2 + 3 + \cdots + (p+q-2)
\]

这个和可以用等差数列的求和公式计算：
\[
\frac{1}{2}(p+q-2)(p+q-1)
\]

#### 2. 计算当前组中的相对位置
在第 \( p + q - 1 \) 组中，项按分子逐渐减少、分母逐渐增加的顺序排列。所以 \( \frac{p}{q} \) 是该组中的第 \( q \) 项。

#### 3. 总位置
现在，我们知道了在 \( p+q-1 \) 之前的所有项数为 \( \frac{1}{2}(p+q-2)(p+q-1) \)，加上当前组中的第 \( q \) 项，我们就得到了 \( \frac{p}{q} \) 的总位置：
\[
\text{总位置} = \frac{1}{2}(p+q-2)(p+q-1) + q
\]

这就是题目中给出的公式。

### 第三步：举例说明
我们可以通过一个例子来验证这个公式。

假设 \( p = 3 \)，\( q = 2 \)。根据公式，计算它的位置：
\[
\text{位置} = \frac{1}{2}(3+2-1)(3+2-2) + 2 = \frac{1}{2}(4)(3) + 2 = 6 + 2 = 8
\]

现在我们回到数列，前面的项分别是：
\[
1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, ...
\]

可以看到，\( 3/2 \) 确实是第 8 项，验证了公式的正确性。

### 总结
我们证明了公式 \( \frac{p}{q} \) 是第 \( \frac{1}{2}(p+q-1)(p+q-2)+q \) 项，并通过数列的排列规则和等差数列的求和公式得到了这一结论。

### 相关问题
1. 如何用编程方式生成这个数列？
2. 如果给定数列中的某一项，如何快速找到它的 \( p \) 和 \( q \)？
3. 数列中是否包含所有的正有理数？
4. 如果数列从 \( \frac{2}{1} \) 开始，如何调整公式？
5. 有没有其他方法能够找到 \( \frac{p}{q} \) 在数列中的位置？

### 小提示
分子和分母的和 \( p + q \) 是决定位置的关键，要学会用这个思路简化排列问题。

The positive rational numbers may be arranged in the form of a simple series as follows: 1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4,... Show that p/q is the [1/2(p+q-1)(p+q-2)+q]th term of the series. 使用中文回答，步骤详细，解题思路清晰，适合低年级学生理解。

Explore how to determine the position of a rational number p/q in a diagonally arranged series. This detailed solution includes arithmetic series summation and the application of a positional formula. Perfect for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation