我们来逐步理解这个问题，并证明给定的公式 $\frac{p}{q}$ 是第 $\frac{1}{2}(p+q-1)(p+q-2)+q$ 项。

第一步：观察数列的排列方式

数列是按照以下方式排列的：

$1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, ...$

这个数列按对角线的方式进行排列，即按照分子和分母之和 $p + q$ 的大小逐次排列。

例如：

• 第一组：$p + q = 2$，只有 $1/1$；
• 第二组：$p + q = 3$，包括 $2/1, 1/2$；
• 第三组：$p + q = 4$，包括 $3/1, 2/2, 1/3$；
• 第四组：$p + q = 5$，包括 $4/1, 3/2, 2/3, 1/4$；
• 依此类推。

我们发现，分子和分母的和 $p + q$ 相同的项按顺序排列，并且每一组的项数与 $p + q - 1$ 相等。例如，当 $p + q = 4$ 时，有 3 项（因为 $4 - 1 = 3$）。

第二步：推导公式

根据这个排列规则，我们想找出 $\frac{p}{q}$ 在数列中的位置。这个位置取决于两部分：

1. 在 $p + q$ 之前的所有项数总和；
2. 在 $p + q$ 这一组中的相对位置。

1. 计算之前的所有项数

我们先计算在 $p + q - 1$ 之前的所有项数。可以看到，当 $p + q = 2$ 时，有 1 项；当 $p + q = 3$ 时，有 2 项；当 $p + q = 4$ 时，有 3 项；依此类推。

所以，所有这些项数的总和就是： $1 + 2 + 3 + \cdots + (p+q-2)$

这个和可以用等差数列的求和公式计算： $\frac{1}{2}(p+q-2)(p+q-1)$

2. 计算当前组中的相对位置

在第 $p + q - 1$ 组中，项按分子逐渐减少、分母逐渐增加的顺序排列。所以 $\frac{p}{q}$ 是该组中的第 $q$ 项。

3. 总位置

现在，我们知道了在 $p+q-1$ 之前的所有项数为 $\frac{1}{2}(p+q-2)(p+q-1)$，加上当前组中的第 $q$ 项，我们就得到了 $\frac{p}{q}$ 的总位置： $\text{总位置} = \frac{1}{2}(p+q-2)(p+q-1) + q$

这就是题目中给出的公式。

第三步：举例说明

我们可以通过一个例子来验证这个公式。

假设 $p = 3$，$q = 2$。根据公式，计算它的位置： $\text{位置} = \frac{1}{2}(3+2-1)(3+2-2) + 2 = \frac{1}{2}(4)(3) + 2 = 6 + 2 = 8$

现在我们回到数列，前面的项分别是： $1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, ...$

可以看到，$3/2$ 确实是第 8 项，验证了公式的正确性。

总结

我们证明了公式 $\frac{p}{q}$ 是第 $\frac{1}{2}(p+q-1)(p+q-2)+q$ 项，并通过数列的排列规则和等差数列的求和公式得到了这一结论。

相关问题

1. 如何用编程方式生成这个数列？
2. 如果给定数列中的某一项，如何快速找到它的 $p$ 和 $q$？
3. 数列中是否包含所有的正有理数？
4. 如果数列从 $\frac{2}{1}$ 开始，如何调整公式？
5. 有没有其他方法能够找到 $\frac{p}{q}$ 在数列中的位置？

小提示

分子和分母的和 $p + q$ 是决定位置的关键，要学会用这个思路简化排列问题。