Math Problem Statement

Tentukan kedudukan titik 𝐹(0, βˆ’5) terhadap lingkaran 𝐿 ≑ π‘₯^2 + 𝑦^2 + 8π‘₯ + 10𝑦 + 25 = 0.

Solution

Untuk menentukan kedudukan titik F(0,βˆ’5)F(0, -5) terhadap lingkaran yang diberikan oleh persamaan L≑x2+y2+8x+10y+25=0L \equiv x^2 + y^2 + 8x + 10y + 25 = 0, kita harus mencari jarak titik F(0,βˆ’5)F(0, -5) ke pusat lingkaran dan membandingkannya dengan jari-jari lingkaran tersebut.

Langkah-langkah:

  1. Tentukan persamaan lingkaran dalam bentuk standar: Persamaan lingkaran yang diberikan adalah: x2+y2+8x+10y+25=0x^2 + y^2 + 8x + 10y + 25 = 0 Kita perlu mengubahnya ke dalam bentuk standar (xβˆ’h)2+(yβˆ’k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, di mana (h,k)(h, k) adalah pusat lingkaran dan rr adalah jari-jari lingkaran.

    • Kelompokkan suku-suku xx dan yy: (x2+8x)+(y2+10y)=βˆ’25(x^2 + 8x) + (y^2 + 10y) = -25

    • Lengkapi kuadrat untuk xx dan yy:

      • Untuk x2+8xx^2 + 8x, tambahkan dan kurangi (82)2=16\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16.
      • Untuk y2+10yy^2 + 10y, tambahkan dan kurangi (102)2=25\left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25.

      Maka, persamaan menjadi: (x2+8x+16)+(y2+10y+25)=βˆ’25+16+25(x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = -25 + 16 + 25 (x+4)2+(y+5)2=16(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 Jadi, persamaan lingkaran dalam bentuk standar adalah: (x+4)2+(y+5)2=16(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 Dari sini, kita bisa lihat bahwa pusat lingkaran adalah (βˆ’4,βˆ’5)(-4, -5) dan jari-jari lingkaran adalah r=4r = 4 (karena r2=16r^2 = 16).

  2. Tentukan jarak titik F(0,βˆ’5)F(0, -5) ke pusat lingkaran (βˆ’4,βˆ’5)(-4, -5): Jarak antara titik F(0,βˆ’5)F(0, -5) dan pusat lingkaran (βˆ’4,βˆ’5)(-4, -5) dapat dihitung dengan rumus jarak antara dua titik: d=(x2βˆ’x1)2+(y2βˆ’y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} Di mana (x1,y1)=(0,βˆ’5)(x_1, y_1) = (0, -5) dan (x2,y2)=(βˆ’4,βˆ’5)(x_2, y_2) = (-4, -5): d=((βˆ’4)βˆ’0)2+((βˆ’5)βˆ’(βˆ’5))2d = \sqrt{((-4) - 0)^2 + ((-5) - (-5))^2} d=(βˆ’4)2+02=16=4d = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4

  3. Kesimpulan: Jarak titik F(0,βˆ’5)F(0, -5) ke pusat lingkaran adalah 4, yang sama dengan jari-jari lingkaran. Oleh karena itu, titik F(0,βˆ’5)F(0, -5) terletak tepat pada keliling lingkaran.

Jawaban:

Titik F(0,βˆ’5)F(0, -5) terletak pada keliling lingkaran.


Jika ada yang ingin ditanyakan atau butuh penjelasan lebih lanjut, silakan! Berikut beberapa pertanyaan terkait:

  1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan lingkaran yang lebih kompleks?
  2. Apa perbedaan antara kedudukan titik terhadap lingkaran dalam kasus lebih dari satu titik?
  3. Bagaimana cara menemukan persamaan lingkaran dari tiga titik yang diberikan?
  4. Apa itu transformasi geometri dan bagaimana pengaruhnya terhadap kedudukan titik?
  5. Bagaimana cara menentukan apakah dua lingkaran saling berpotongan atau tidak?

Tip: Selalu pastikan untuk melengkapi kuadrat ketika menyelesaikan persamaan lingkaran, karena ini akan mempermudah pengidentifikasian pusat dan jari-jari.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Analytic Geometry
Circle Equation
Distance Formula

Formulas

Distance formula: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Equation of a circle: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Theorems

Circle properties: center and radius from standard form

Suitable Grade Level

Grades 10-12