Untuk menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran, kita dapat menggunakan rumus jarak antara dua titik dalam koordinat kartesian, yaitu:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

di mana:

• $(x_1, y_1)$ adalah koordinat pusat lingkaran
• $(x_2, y_2)$ adalah koordinat titik yang ingin kita tentukan kedudukannya
• $d$ adalah jarak titik ke pusat lingkaran
• Jika jarak $d$ lebih kecil dari jari-jari lingkaran, titik berada di dalam lingkaran. Jika jarak $d$ sama dengan jari-jari, titik berada di lingkaran. Jika jarak $d$ lebih besar dari jari-jari, titik berada di luar lingkaran.

Diketahui:

• Pusat lingkaran: $C(1, 3)$
• Jari-jari lingkaran: $r = 5$

Sekarang kita hitung kedudukan titik A dan B.

a. Titik A(7, 5)

Koordinat titik A adalah $A(7, 5)$. Kita hitung jaraknya dari pusat lingkaran $C(1, 3)$:

$d_A = \sqrt{(7 - 1)^2 + (5 - 3)^2}$ $d_A = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \approx 6.32$

Jarak $d_A \approx 6.32$, sedangkan jari-jari lingkaran adalah 5. Karena jarak titik A lebih besar dari jari-jari lingkaran, titik A berada di luar lingkaran.

b. Titik B(6, 3)

Koordinat titik B adalah $B(6, 3)$. Kita hitung jaraknya dari pusat lingkaran $C(1, 3)$:

$d_B = \sqrt{(6 - 1)^2 + (3 - 3)^2}$ $d_B = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$

Jarak $d_B = 5$, yang sama dengan jari-jari lingkaran. Karena jarak titik B sama dengan jari-jari lingkaran, titik B berada di atas lingkaran.

Kesimpulan:

• Titik A(7, 5) berada di luar lingkaran.
• Titik B(6, 3) berada di atas lingkaran.

Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lainnya? Berikut beberapa pertanyaan untuk memperdalam pemahaman:

1. Apa yang terjadi jika jarak titik lebih kecil dari jari-jari lingkaran?
2. Bagaimana cara menentukan persamaan lingkaran jika kita hanya tahu pusat dan jari-jari?
3. Apa yang dimaksud dengan titik di dalam atau di luar lingkaran dalam konteks geometri analitik?
4. Bagaimana cara menulis persamaan jarak antara dua titik dalam koordinat kartesian?
5. Apa hubungan antara titik yang berada di lingkaran dengan persamaan lingkaran itu sendiri?

Tip: Untuk mempercepat perhitungan, kita sering menggunakan rumus jarak titik dan pusat lingkaran, yang memanfaatkan akar kuadrat dari jumlah kuadrat selisih koordinat.