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Quiero que me ayudes con lo siguiente que esta en la foto son ejercicios de matematicas, Resuélvelo de la forma correcta de manera detallado todo el procedimiento paso a paso, y explica de donde sale cada cosa y tambien menciona las fórmulas a ocupar bien estructurado todo. de una manera mucho más facil y más corto rapido de resolver. que sea un metodo mucho más facil sencilla y rapida de solucionar, claro su respuesta correcta.

Vamos a resolver los ejercicios de la imagen paso a paso y de manera detallada para que sea fácil de entender.

### **1. Escriba la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio dado:**
La fórmula de la ecuación de una circunferencia con centro en el origen \((0, 0)\) y radio \(r\) es:

\[
x^2 + y^2 = r^2
\]

#### a) \( r = 3 \)
\[
x^2 + y^2 = 3^2 = 9
\]

#### b) \( r = \frac{1}{4} \)
\[
x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}
\]

#### c) \( r = \sqrt{2} \)
\[
x^2 + y^2 = (\sqrt{2})^2 = 2
\]

### **2. Halla el centro y el radio de cada circunferencia:**

Para una circunferencia de la forma \(x^2 + y^2 = r^2\), el centro es \((0, 0)\) y el radio es \(\sqrt{r^2}\).

#### a) \( x^2 + y^2 = 25 \)
- Centro: \((0, 0)\)
- Radio: \(\sqrt{25} = 5\)

#### b) \( x^2 + y^2 = 5 \)
- Centro: \((0, 0)\)
- Radio: \(\sqrt{5}\)

#### c) \( x^2 + y^2 = \sqrt{5} \)
- Centro: \((0, 0)\)
- Radio: \(\sqrt{\sqrt{5}}\)

#### d) \( x^2 + y^2 = 0.5 \)
- Centro: \((0, 0)\)
- Radio: \(\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}}\)

### **3. Determina si los puntos pertenecen a la circunferencia:**

Para determinar si un punto \((x, y)\) pertenece a una circunferencia, sustituyes las coordenadas en la fórmula \(x^2 + y^2\). Si coincide con \(r^2\), pertenece a la circunferencia.

#### a) \(\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
#### b) \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
#### c) \(\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4}\right)\)
#### d) \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

---

**¿Te gustaría resolver alguna parte con más detalle o tienes dudas?** 

Aquí tienes algunas preguntas que te podrían ayudar:
1. ¿Cómo simplificar la ecuación para encontrar el radio más rápido?
2. ¿Qué sucede si el centro no está en el origen?
3. ¿Qué otros métodos existen para determinar si un punto pertenece a una circunferencia?
4. ¿Cómo afecta el signo de las coordenadas del punto en la circunferencia?
5. ¿Podemos tener circunferencias con radios negativos?

**Tip:** Practicar con diferentes valores de radio y verificar la sustitución de puntos ayuda a entender mejor cómo se comporta la circunferencia.

1. Escriba la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio dado. 2. Halla el centro y el radio de cada circunferencia. 3. Determina si los puntos pertenecen a la circunferencia.

Learn how to write the equation of a circle with a given radius, find the center and radius of circles from their equations, and determine whether points lie on a given circle. These exercises cover essential concepts in coordinate geometry, suitable for Grades 9-12.

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