1. Wyznacz sumę f + g oraz różnicę ƒ - g wielomianów fig.

a) f(x) = x - 2x²+2x²+4, g(x) = x + 2x²+x³-x²-2x+2

b) f(x) = -2x² + 4x - x + 2, g(x) = -5x + 3x² + x6 - 375

c) f(x) = 3x²+2x7-5+4x, g(x) = -3x+x52x7 +2

2. Wyznacz wielomiany w(x) = f(x) - 3g(x) oraz u(x) = g(x) - f(x). Podaj stopień oraz sumę współczynników każdego z tych wielomianów.

a) f(x) = x + x² +3, g(x) = -2x²++2 b) f(x) = 3x5 + 6x39x, g(x) = 2x5 + 4x3 - 4x2

### 1. Wyznacz sumę \( f + g \) oraz różnicę \( f - g \) wielomianów \( f(x) \) i \( g(x) \):

#### a) 
\( f(x) = x - 2x^2 + 2x^2 + 4 \), \( g(x) = x + 2x^2 + x^3 - x^2 - 2x + 2 \)

**Uproszczenie wielomianów:**

- \( f(x) = x + 0 + 4 = x + 4 \) 
- \( g(x) = x + (2x^2 - x^2) + x^3 - 2x + 2 = x + x^2 + x^3 - 2x + 2 = x^3 + x^2 - x + 2 \)

**Suma \( f(x) + g(x) \):**

\[
f(x) + g(x) = (x + 4) + (x^3 + x^2 - x + 2) = x^3 + x^2 + 0x + 6
\]

**Różnica \( f(x) - g(x) \):**

\[
f(x) - g(x) = (x + 4) - (x^3 + x^2 - x + 2) = -x^3 - x^2 + 2x + 2
\]

#### b)
\( f(x) = -2x^2 + 4x - x + 2 \), \( g(x) = -5x + 3x^2 + x^6 - 375 \)

**Uproszczenie wielomianów:**

- \( f(x) = -2x^2 + 3x + 2 \)
- \( g(x) = x^6 + 3x^2 - 5x - 375 \)

**Suma \( f(x) + g(x) \):**

\[
f(x) + g(x) = (-2x^2 + 3x + 2) + (x^6 + 3x^2 - 5x - 375) = x^6 + x^2 - 2x - 373
\]

**Różnica \( f(x) - g(x) \):**

\[
f(x) - g(x) = (-2x^2 + 3x + 2) - (x^6 + 3x^2 - 5x - 375) = -x^6 - 5x^2 + 8x + 377
\]

#### c)
\( f(x) = 3x^2 + 2x^7 - 5 + 4x \), \( g(x) = -3x + x5x^7 + 2 \)

**Uproszczenie wielomianów:**

- \( f(x) = 2x^7 + 3x^2 + 4x - 5 \)
- \( g(x) = x^7 - 3x + 2 \)

**Suma \( f(x) + g(x) \):**

\[
f(x) + g(x) = (2x^7 + 3x^2 + 4x - 5) + (x^7 - 3x + 2) = 3x^7 + 3x^2 + x - 3
\]

**Różnica \( f(x) - g(x) \):**

\[
f(x) - g(x) = (2x^7 + 3x^2 + 4x - 5) - (x^7 - 3x + 2) = x^7 + 3x^2 + 7x - 7
\]

---

### 2. Wyznacz wielomiany \( w(x) = f(x) - 3g(x) \) oraz \( u(x) = g(x) - f(x) \):

#### a) 
\( f(x) = x + x^2 + 3 \), \( g(x) = -2x^2 + 2 \)

**Wielomian \( w(x) = f(x) - 3g(x) \):**

\[
w(x) = (x + x^2 + 3) - 3(-2x^2 + 2) = x + x^2 + 3 + 6x^2 - 6 = x + 7x^2 - 3
\]

**Stopień wielomianu**: 2  
**Suma współczynników**: \( 1 + 7 - 3 = 5 \)

**Wielomian \( u(x) = g(x) - f(x) \):**

\[
u(x) = (-2x^2 + 2) - (x + x^2 + 3) = -2x^2 + 2 - x - x^2 - 3 = -3x^2 - x - 1
\]

**Stopień wielomianu**: 2  
**Suma współczynników**: \( -3 - 1 - 1 = -5 \)

#### b)
\( f(x) = 3x^5 + 6x^3 + 9x \), \( g(x) = 2x^5 + 4x^3 - 4x^2 \)

**Wielomian \( w(x) = f(x) - 3g(x) \):**

\[
w(x) = (3x^5 + 6x^3 + 9x) - 3(2x^5 + 4x^3 - 4x^2) = 3x^5 + 6x^3 + 9x - 6x^5 - 12x^3 + 12x^2
\]

\[
w(x) = -3x^5 - 6x^3 + 12x^2 + 9x
\]

**Stopień wielomianu**: 5  
**Suma współczynników**: \( -3 - 6 + 12 + 9 = 12 \)

**Wielomian \( u(x) = g(x) - f(x) \):**

\[
u(x) = (2x^5 + 4x^3 - 4x^2) - (3x^5 + 6x^3 + 9x) = 2x^5 + 4x^3 - 4x^2 - 3x^5 - 6x^3 - 9x
\]

\[
u(x) = -x^5 - 2x^3 - 4x^2 - 9x
\]

**Stopień wielomianu**: 5  
**Suma współczynników**: \( -1 - 2 - 4 - 9 = -16 \)

---

### Czy masz pytania lub potrzebujesz dodatkowych szczegółów?

### 5 Pokrewne pytania:
1. Jakie są zasady dodawania wielomianów o różnych stopniach?
2. Jak znaleźć współczynniki dla wielomianów w postaci kanonicznej?
3. Jak wyznaczyć stopień wielomianu po dokonaniu operacji algebraicznych?
4. Jak rozwiązywać równania wielomianowe o większym stopniu?
5. Jakie są zastosowania wielomianów w fizyce i inżynierii?

### Wskazówka:  
Przy dodawaniu lub odejmowaniu wielomianów zawsze grupuj wyrazy o tych samych potęgach \( x \), aby uprościć wyrażenie.

1. Wyznacz sumę f + g oraz różnicę ƒ - g wielomianów. a) f(x) = x - 2x²+2x²+4, g(x) = x + 2x²+x³-x²-2x+2 b) f(x) = -2x² + 4x - x + 2, g(x) = -5x + 3x² + x6 - 375 c) f(x) = 3x²+2x7-5+4x, g(x) = -3x+x52x7 +2 2. Wyznacz wielomiany w(x) = f(x) - 3g(x) oraz u(x) = g(x) - f(x). Podaj stopień oraz sumę współczynników każdego z tych wielomianów.

Solve polynomial problems by determining the sum and difference of f(x) and g(x). Learn how to handle polynomial degrees and coefficient sums in a step-by-step guide. Suitable for high school students working with algebraic expressions.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation