Осьовим перерізом кола являється правильний трикутник, зі стороною 12см. Знайти площину перерізу проведеного через дві твірні кут між якими 45°

У даному випадку ми маємо конічну поверхню з основою у формі кола і осьовим перерізом у вигляді правильного трикутника зі стороною \( 12 \) см. Для розв'язання цього завдання розглянемо декілька кроків:

1. **Висота конуса (апофема)**: Правильний трикутник є осьовим перерізом конуса, тому його висота збігається з висотою конуса. Для правильного трикутника стороною \( a = 12 \) см висота \( h \) виражається через формулу:
   \[
   h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} \, \text{см}.
   \]

2. **Радіус основи конуса**: Оскільки цей трикутник є рівностороннім, радіус основи конуса дорівнює половині його сторони:
   \[
   R = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}.
   \]

3. **Кут між твірними**: Нам необхідно знайти площину перерізу, проведену через дві твірні, між якими кут \( \alpha = 45^\circ \).

   У випадку конуса твірними є лінії, що йдуть від вершини конуса до його основи. Для знайдення довжини відрізка, утвореного цими двома твірними в площині перерізу, можна скористатися властивостями конуса та формулою для дугової відстані між твірними. При куті \( 45^\circ \), довжина відрізка між двома твірними на колі основи:
   \[
   L = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right).
   \]
   Підставимо значення \( R = 6 \) см та \( \alpha = 45^\circ \):
   \[
   L = 2 \cdot 6 \cdot \sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = 12 \cdot \sin(22.5^\circ).
   \]

4. **Визначення площини перерізу**: Площина, проведена через дві твірні, є рівнобедреною трапецією в перерізі, де одна з її сторін — це відстань між двома твірними, а інші сторони — апофеми конуса.

Щоб завершити розв'язання, порахуємо довжину цього відрізка і побудуємо трапецію.

Solve the problem of finding the plane section of a cone with an equilateral triangle as the axial section and a 12 cm side length. The solution involves geometry, trigonometry, and properties of conic sections, ideal for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation