У даному випадку ми маємо конічну поверхню з основою у формі кола і осьовим перерізом у вигляді правильного трикутника зі стороною $12$ см. Для розв'язання цього завдання розглянемо декілька кроків:

1. Висота конуса (апофема): Правильний трикутник є осьовим перерізом конуса, тому його висота збігається з висотою конуса. Для правильного трикутника стороною $a = 12$ см висота $h$ виражається через формулу: $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} \, \text{см}.$

2. Радіус основи конуса: Оскільки цей трикутник є рівностороннім, радіус основи конуса дорівнює половині його сторони: $R = \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}.$

3. Кут між твірними: Нам необхідно знайти площину перерізу, проведену через дві твірні, між якими кут $\alpha = 45^\circ$.

   У випадку конуса твірними є лінії, що йдуть від вершини конуса до його основи. Для знайдення довжини відрізка, утвореного цими двома твірними в площині перерізу, можна скористатися властивостями конуса та формулою для дугової відстані між твірними. При куті $45^\circ$, довжина відрізка між двома твірними на колі основи: $L = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right).$ Підставимо значення $R = 6$ см та $\alpha = 45^\circ$: $L = 2 \cdot 6 \cdot \sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = 12 \cdot \sin(22.5^\circ).$

4. Визначення площини перерізу: Площина, проведена через дві твірні, є рівнобедреною трапецією в перерізі, де одна з її сторін — це відстань між двома твірними, а інші сторони — апофеми конуса.

Щоб завершити розв'язання, порахуємо довжину цього відрізка і побудуємо трапецію.