радіус основи кола 12см, знайти площину перерізу який проходить через вершину конуса і хорду основи яка стягує дугу 60° якщо площина перерізу утворює з площиною основи кут 45°

Для розв'язання цієї задачі будемо використовувати знання з геометрії конуса і тригонометрії.

**Задача:** У нас є конус, радіус основи якого \( R = 12 \, \text{см} \), і площина перерізу, яка проходить через вершину конуса і хорду основи. Хорда стягує дугу в \( 60^\circ \), і площина перерізу утворює з площиною основи кут \( 45^\circ \). Потрібно знайти площу перерізу.

### Крок 1: Довжина хорди

Для початку знайдемо довжину хорди \( l \), яка стягує дугу в \( 60^\circ \). Використаємо формулу для довжини хорди в колі:

\[
l = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)
\]

де \( \alpha = 60^\circ \), а \( R = 12 \, \text{см} \):

\[
l = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 24 \cdot \sin(30^\circ) = 24 \cdot 0.5 = 12 \, \text{см}.
\]

### Крок 2: Розміщення перерізу

Площина перерізу проходить через вершину конуса і хорду. Отже, переріз утворює рівнобедрений трикутник, в якому:

- одна зі сторін дорівнює довжині хорди основи \( l = 12 \, \text{см} \),
- інша сторона — це висота конуса \( h \), яку ми поки не знаємо, але можна визначити її зі співвідношень, що випливають з кута нахилу площини перерізу.

### Крок 3: Визначення висоти конуса

Оскільки площина перерізу утворює кут \( 45^\circ \) з основою, можемо скористатися тригонометрією. Задачу можна звести до розгляду прямокутного трикутника, в якому:

- гіпотенуза — це радіус основи конуса \( R = 12 \, \text{см} \),
- прилеглий кут — це \( 45^\circ \).

Для прямокутного трикутника:

\[
\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{l}{2}} = \frac{h}{6}
\]

Оскільки \( \tan(45^\circ) = 1 \), отримуємо:

\[
h = 6 \, \text{см}.
\]

### Крок 4: Площа перерізу

Тепер, коли ми знаємо, що переріз — це рівнобедрений трикутник, його площу можна знайти за формулою:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot h
\]

де \( l = 12 \, \text{см} \), \( h = 6 \, \text{см} \):

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \, \text{см}^2.
\]

### Відповідь:

Площа перерізу дорівнює \( 36 \, \text{см}^2 \).

---

Чи потрібні деталі або додаткові пояснення?

### Додаткові запитання для розширення:
1. Як знайти довжину хорди, що стягує довільну дугу в колі?
2. Яким чином площина може утворювати різні кути з площиною основи в конусі?
3. Як обчислити площу перерізу для конуса з нахиленою площиною під іншим кутом?
4. Як зміниться переріз, якщо кут при основі буде відмінним від \( 45^\circ \)?
5. Який зв'язок між параметрами конуса і властивостями його перерізів?

### Порада:
Для складних фігур, що включають нахилені площини, часто зручно використовувати тригонометричні співвідношення в поєднанні з класичними формулами площ і довжин.

Solve a problem involving a conical section, where a plane cuts through the vertex and a chord subtending a 60° arc, with a 45° angle to the base. Detailed steps include using chord length, trigonometric functions, and triangle area formulas. Suitable for high school students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation