Для розв'язання цієї задачі будемо використовувати знання з геометрії конуса і тригонометрії.

Задача: У нас є конус, радіус основи якого $R = 12 \, \text{см}$, і площина перерізу, яка проходить через вершину конуса і хорду основи. Хорда стягує дугу в $60^\circ$, і площина перерізу утворює з площиною основи кут $45^\circ$. Потрібно знайти площу перерізу.

Крок 1: Довжина хорди

Для початку знайдемо довжину хорди $l$, яка стягує дугу в $60^\circ$. Використаємо формулу для довжини хорди в колі:

$l = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

де $\alpha = 60^\circ$, а $R = 12 \, \text{см}$:

$l = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 24 \cdot \sin(30^\circ) = 24 \cdot 0.5 = 12 \, \text{см}.$

Крок 2: Розміщення перерізу

Площина перерізу проходить через вершину конуса і хорду. Отже, переріз утворює рівнобедрений трикутник, в якому:

• одна зі сторін дорівнює довжині хорди основи $l = 12 \, \text{см}$,
• інша сторона — це висота конуса $h$, яку ми поки не знаємо, але можна визначити її зі співвідношень, що випливають з кута нахилу площини перерізу.

Крок 3: Визначення висоти конуса

Оскільки площина перерізу утворює кут $45^\circ$ з основою, можемо скористатися тригонометрією. Задачу можна звести до розгляду прямокутного трикутника, в якому:

• гіпотенуза — це радіус основи конуса $R = 12 \, \text{см}$,
• прилеглий кут — це $45^\circ$.

Для прямокутного трикутника:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{l}{2}} = \frac{h}{6}$

Оскільки $\tan(45^\circ) = 1$, отримуємо:

$h = 6 \, \text{см}.$

Крок 4: Площа перерізу

Тепер, коли ми знаємо, що переріз — це рівнобедрений трикутник, його площу можна знайти за формулою:

$S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot h$

де $l = 12 \, \text{см}$, $h = 6 \, \text{см}$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \, \text{см}^2.$

Відповідь:

Площа перерізу дорівнює $36 \, \text{см}^2$.

---

Чи потрібні деталі або додаткові пояснення?

Додаткові запитання для розширення:

1. Як знайти довжину хорди, що стягує довільну дугу в колі?
2. Яким чином площина може утворювати різні кути з площиною основи в конусі?
3. Як обчислити площу перерізу для конуса з нахиленою площиною під іншим кутом?
4. Як зміниться переріз, якщо кут при основі буде відмінним від $45^\circ$?
5. Який зв'язок між параметрами конуса і властивостями його перерізів?

Порада:

Для складних фігур, що включають нахилені площини, часто зручно використовувати тригонометричні співвідношення в поєднанні з класичними формулами площ і довжин.