Math Problem Statement
- Составить уравнение плоскости проходящей через прямую ( x - 4y - z - 2 = 0, (2x + 3y - 2z + 7 = 0.
Solution
Для составления уравнения плоскости, проходящей через прямую, заданную системой уравнений:
x - 4y - z - 2 = 0 \\ 2x + 3y - 2z + 7 = 0 \end{cases}$$ нам нужно найти две точки, лежащие на этой прямой, а затем использовать векторное произведение для нахождения нормали к плоскости. 1. **Найдем две точки на прямой.** Для этого решим систему уравнений, выбрав произвольное значение одной из переменных (например, $$y = 0$$) и решив относительно других. Пусть $$y = 0$$: $$\begin{cases} x - z - 2 = 0 \\ 2x - 2z + 7 = 0 \end{cases}$$ Из первого уравнения: $$x - z = 2$$ $$x = z + 2$$ Подставим это во второе уравнение: $$2(z + 2) - 2z + 7 = 0$$ $$2z + 4 - 2z + 7 = 0$$ $$11 \neq 0$$ Это означает, что при $$y = 0$$ система не имеет решений. Выберем другое значение для $$y$$, например, $$y = 1$$: Пусть $$y = 1$$: $$\begin{cases} x - 4 - z - 2 = 0 \\ 2x + 3 - 2z + 7 = 0 \end{cases}$$ Из первого уравнения: $$x - z - 6 = 0$$ $$x = z + 6$$ Подставим это во второе уравнение: $$2(z + 6) + 3 - 2z + 7 = 0$$ $$2z + 12 + 3 - 2z + 7 = 0$$ $$22 \neq 0$$ И снова при $$y = 1$$ система не имеет решений. Повторим попытку с другим значением, например, $$y = 2$$: Пусть $$y = 2$$: $$\begin{cases} x - 8 - z - 2 = 0 \\ 2x + 6 - 2z + 7 = 0 \end{cases}$$ Из первого уравнения: $$x - z - 10 = 0$$ $$x = z + 10$$ Подставим это во второе уравнение: $$2(z + 10) + 6 - 2z + 7 = 0$$ $$2z + 20 + 6 - 2z + 7 = 0$$ $$33 \neq 0$$ Видимо, нам нужно пересмотреть метод выбора переменных. Для точного нахождения точек можно воспользоваться параметрическим представлением прямой. Попробуем другой метод: **Метод нахождения векторов** Для нахождения нормального вектора к плоскости возьмем векторное произведение направляющих векторов двух плоскостей: $$\mathbf{n_1} = (1, -4, -1)$$ $$\mathbf{n_2} = (2, 3, -2)$$ Направляющий вектор прямой: $$\mathbf{d} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}$$ $$\mathbf{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -4 & -1 \\ 2 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-4 \cdot -2 - (-1 \cdot 3)) - \mathbf{j}(1 \cdot -2 - (-1 \cdot 2)) + \mathbf{k}(1 \cdot 3 - (-4 \cdot 2))$$ $$= \mathbf{i}(8 + 3) - \mathbf{j}(-2 + 2) + \mathbf{k}(3 + 8)$$ $$= \mathbf{i}(11) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(11)$$ $$\mathbf{d} = (11, 0, 11)$$ Следовательно, направляющий вектор $$\mathbf{d} = (11, 0, 11)$$. Теперь используем точку на прямой. Выберем, например, $$x = 0$$ и найдем $$y$$ и $$z$$: Пусть $$x = 0$$: $$\begin{cases} -4y - z - 2 = 0 \\ 3y - 2z + 7 = 0 \end{cases}$$ Из первого уравнения: $$z = -4y - 2$$ Подставим во второе: $$3y - 2(-4y - 2) + 7 = 0$$ $$3y + 8y + 4 + 7 = 0$$ $$11y + 11 = 0$$ $$y = -1$$ Тогда $$z = -4(-1) - 2 = 2$$. Итак, точка на прямой: $$(0, -1, 2)$$. Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точку $$(0, -1, 2)$$ с нормальным вектором $$(11, 0, 11)$$: $$11(x - 0) + 0(y + 1) + 11(z - 2) = 0$$ $$11x + 11z - 22 = 0$$ $$x + z - 2 = 0$$ Таким образом, уравнение плоскости: $$x + z - 2 = 0$$ Хотите узнать подробнее или есть ли у вас вопросы? Вот несколько дополнительных вопросов: 1. Как найти нормальный вектор к плоскости? 2. Как решить систему линейных уравнений для нахождения точки на прямой? 3. Как найти точку пересечения прямой и плоскости? 4. Что такое параметрическое представление прямой? 5. Как использовать векторное произведение для нахождения нормального вектора? **Совет:** При решении задач на нахождение уравнения плоскости или прямой полезно использовать параметрическое представление и анализ линейной независимости векторов.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Analytical Geometry
Planes and Lines in 3D Space
Vector Cross Product
Linear Equations
Formulas
Plane equation: Ax + By + Cz + D = 0
Vector cross product: \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\)
Parametric representation of a line
Theorems
The cross product of two vectors gives a vector orthogonal to both
A plane can be defined by a normal vector and a point
Suitable Grade Level
Undergraduate Mathematics or Advanced High School (Grades 11-12)
Related Recommendation
Find the Equation of a Plane Passing Through a Point and Containing a Line
Find the Equation of a Plane for Triangle ABT in 3D Space
Find Equation of Plane Passing Through Point Perpendicular to Given Vector/Line
Equation of a Plane Given a Point and a Line in 3D
Find the Equation of a Plane Passing Through a Point and a Line