Vi har tre punkter $A(0, 0, 2,3)$, $B(8,6; -3,25; 0)$ og et tredje punkt $T$, som ligger på linjen $l$. For at bestemme en ligning for planen $a$, der indeholder trekanten $ABT$, følger vi følgende trin:

Trin 1: Find vektorerne $\vec{AB}$ og $\vec{BT}$

• $\vec{AB} = (8,6 - 0; -3,25 - 0; 0 - 2,3) = (8,6; -3,25; -2,3)$
• Vektoren $\vec{BT}$ fås fra parametergangen på linjen $l$, hvor $l$ er givet som $(x, y, z) = (8,6; -3,25; 0) + t \cdot (6,2; 6,5; 13,2)$. Her kan vi tage $t = 1$ for at finde punktet $T$ på linjen. Da får vi:

$T = (8,6 + 1 \cdot 6,2; -3,25 + 1 \cdot 6,5; 0 + 1 \cdot 13,2) = (14,8; 3,25; 13,2)$

Nu har vi punktet $T(14,8; 3,25; 13,2)$.

Trin 2: Bestem to vektorer i planen $a$

Nu har vi tre punkter: $A(0, 0, 2,3)$, $B(8,6; -3,25; 0)$, og $T(14,8; 3,25; 13,2)$.

Vi finder to vektorer i planen $a$, $\vec{AB}$ og $\vec{AT}$:

• $\vec{AB} = (8,6; -3,25; -2,3)$
• $\vec{AT} = (14,8 - 0; 3,25 - 0; 13,2 - 2,3) = (14,8; 3,25; 10,9)$

Trin 3: Krydsprodukt af $\vec{AB}$ og $\vec{AT}$

For at finde en normalvektor $\vec{n}$ til planen $a$, beregner vi krydsproduktet $\vec{AB} \times \vec{AT}$.

$\vec{AB} \times \vec{AT} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8,6 & -3,25 & -2,3 \\ 14,8 & 3,25 & 10,9 \end{vmatrix}$

Udregningen af determinanten giver normalvektoren $\vec{n} = (n_x, n_y, n_z)$.

Lad os beregne krydsproduktet:

$\vec{n} = \hat{i} \left((-3,25 \cdot 10,9) - (-2,3 \cdot 3,25)\right) - \hat{j} \left((8,6 \cdot 10,9) - (-2,3 \cdot 14,8)\right) + \hat{k} \left((8,6 \cdot 3,25) - (-3,25 \cdot 14,8)\right)$

Dette giver os en normalvektor $\vec{n}$. Lad os beregne det næste.

Trin 4: Planens ligning

Planens ligning har formen: $n_x (x - x_0) + n_y (y - y_0) + n_z (z - z_0) = 0$ Hvor $(x_0, y_0, z_0)$ er koordinaterne for et punkt i planen (fx punkt $A(0, 0, 2,3)$).

Jeg vil nu beregne krydsproduktet for at finde normalvektoren og dermed planens ligning.

Lad os beregne dette.Normalvektoren $\vec{n}$ til planen $a$ er $\vec{n} = (-27,95; -127,78; 76,05)$.

Trin 4: Planens ligning

Vi kan nu opstille planens ligning i formen: $n_x (x - x_0) + n_y (y - y_0) + n_z (z - z_0) = 0$ Hvor $(x_0, y_0, z_0) = A(0, 0, 2,3)$, og $\vec{n} = (-27,95; -127,78; 76,05)$. Indsætter vi i ligningen:

$-27,95 \cdot (x - 0) - 127,78 \cdot (y - 0) + 76,05 \cdot (z - 2,3) = 0$

Dette giver:

$-27,95x - 127,78y + 76,05(z - 2,3) = 0$ $-27,95x - 127,78y + 76,05z - 174,915 = 0$

Den endelige ligning for planen $a$ er således: $-27,95x - 127,78y + 76,05z = 174,915$

Spørg endelig, hvis du har brug for yderligere forklaringer eller detaljer!

5 Relaterede spørgsmål:

1. Hvordan bestemmes krydsproduktet geometrisk?
2. Hvad er betydningen af normalvektoren for en plan?
3. Hvordan kan man finde skæringen mellem en linje og en plan?
4. Kan en ligning for en plan altid skrives i normalform?
5. Hvordan beregnes afstand fra et punkt til en plan?

Tip:

Når du beregner krydsproduktet af to vektorer, får du en vektor, der står vinkelret på begge vektorer og dermed er normal til det plan, de to vektorer spænder ud.