Math Problem Statement

日本語で解いて教えてください

1から7までの整数から異なる4個を選んで4桁の整数をつくるとき、全部で何個の数ができるか。また、奇数となるもの、3500より大きい数、各桁が昇順に並ぶ数は何個あるか。

Solution

この問題は、1から7までの数字の中から異なる4個を選んで4桁の整数を作る問題です。

まず、全部でアイウ個の整数ができるとあります。1から7までの7個の数字の中から異なる4つを選んで4桁の整数を作る場合、順列を使って計算します。

  1. 4桁の整数の総数
    7個の数字の中から異なる4つを選び、並べる場合の数は次のように計算されます。
    順列を使うと、これは
    P(7,4)=7×6×5×4=840P(7,4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840 つまり、アイウ = 840 です。

  2. 奇数の数エオカ
    次に奇数の数ですが、奇数になるためには一番右の桁(下位桁)が奇数である必要があります。1から7までの奇数は 1, 3, 5, 7 の4つあります。
    したがって、一番右の桁に奇数が4つのどれかが来ることを考えます。残りの3桁には、奇数を除いた残りの6個の数字(奇数は使えないので、奇数を1つ選んだ後、残り6個)から3つを選んで並べます。この場合、
    4×6×5×4=4804 \times 6 \times 5 \times 4 = 480 よって、エオカ = 480 です。

  3. 3500よりも大きい整数キクケ
    3500より大きい数にするには、上位桁に3より大きい数字が来る必要があります。すなわち、千の位には 4, 5, 6, 7 のどれかが来る場合が考えられます。この4つのどれかを選び、残りの数字を使って下位の3桁を構成します。
    この場合の総数は次のようになります: 4×6×5×4=4804 \times 6 \times 5 \times 4 = 480 よって、キクケ = 480 です。

  4. 各桁の数字が左から小さい順に並んでいる数コサ
    各桁の数字が左から小さい順に並んでいるとは、4つの数字を昇順に並べた1通りだけの数となります。例えば、「2357」などです。
    したがって、1から7までの数字の中から4つを選んで昇順に並べる組み合わせの数は、
    (74)=35\binom{7}{4} = 35 よって、コサ = 35 です。


この問題の解答をまとめると次のようになります:

  • アイウ = 840
  • エオカ = 480
  • キクケ = 480
  • コサ = 35

何か質問がありますか?それともさらに詳しい説明が必要ですか?

関連問題

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  4. 1から7までの数字の中から異なる3つを選んで3桁の整数を作る場合、全体の数は何通りになりますか?
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Tip

順列と組み合わせを使い分ける問題では、順列が「並べること」に関わり、組み合わせが「選ぶこと」に関わると覚えると便利です。

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Permutation
Combination
Number Theory

Formulas

Permutation P(n, k) = n × (n-1) × ... × (n-k+1)
Combination C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

Theorems

Permutation theorem for counting distinct arrangements
Combination theorem for selecting digits

Suitable Grade Level

Grades 10-12