Para resolver o problema, é necessário calcular o perímetro do triângulo formado pelos centros das diagonais de três faces de dimensões distintas do paralelepípedo.

Passo 1: Coordenadas dos centros das diagonais

Os centros das diagonais das faces de dimensões distintas do paralelepípedo são os pontos médios dessas faces:

• Face 1: Dimensões $6 \, \text{cm} \times 8 \, \text{cm}$: O centro da diagonal está no ponto $(3, 4, 0)$.

• Face 2: Dimensões $6 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm}$: O centro da diagonal está no ponto $(3, 0, 5)$.

• Face 3: Dimensões $8 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm}$: O centro da diagonal está no ponto $(0, 4, 5)$.

Os três vértices do triângulo são, portanto: $A = (3, 4, 0), \quad B = (3, 0, 5), \quad C = (0, 4, 5).$

Passo 2: Comprimento dos lados do triângulo

Usamos a fórmula da distância euclidiana entre dois pontos $P_1(x_1, y_1, z_1)$ e $P_2(x_2, y_2, z_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.$

Cálculo de $AB$:

$AB = \sqrt{(3-3)^2 + (0-4)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{0 + 16 + 25} = \sqrt{41}.$

Cálculo de $AC$:

$AC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-4)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{9 + 0 + 25} = \sqrt{34}.$

Cálculo de $BC$:

$BC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5.$

Passo 3: Perímetro do triângulo

O perímetro do triângulo é a soma dos comprimentos de seus lados: $P = AB + AC + BC.$ Substituímos os valores calculados: $P = \sqrt{41} + \sqrt{34} + 5.$

Aproximações numéricas:

• $\sqrt{41} \approx 6,4$,
• $\sqrt{34} \approx 5,8$.

Portanto: $P \approx 6,4 + 5,8 + 5 = 17,2.$

Passo 4: Análise da alternativa correta

Com $P \approx 17,2 \, \text{cm}$, temos que: $16 \, \text{cm} < P < 18 \, \text{cm}.$

Logo, a alternativa correta é: (c) $16 \, \text{cm} < P < 18 \, \text{cm}$.

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5. Como calcular o volume do paralelepípedo baseado em suas dimensões?

Dica: Sempre visualize problemas espaciais desenhando as coordenadas e associando dimensões às arestas. Isso facilita encontrar pontos médios e calcular distâncias.