Розв'яжемо задачу крок за кроком:

Вхідні дані:

• Сторони основи прямокутного паралелепіпеда: $a = 15 \, \text{см}, \, b = 20 \, \text{см}$.
• Діагональ паралелепіпеда: $d = 5\sqrt{26} \, \text{см}$.

Завдання:

1. Знайти бічну поверхню паралелепіпеда.
2. Знайти площу перерізу, проведеного через діагональ основи і протилежну вершину іншої основи.

---

1. Знайдемо висоту $h$:

Формула діагоналі прямокутного паралелепіпеда: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2}.$ Підставимо відомі значення: $5\sqrt{26} = \sqrt{15^2 + 20^2 + h^2}.$ Обчислимо $15^2 + 20^2$: $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625.$ Тоді рівняння стає: $5\sqrt{26} = \sqrt{625 + h^2}.$ Піднесемо обидві частини до квадрата: $(5\sqrt{26})^2 = 625 + h^2.$ Обчислимо $(5\sqrt{26})^2$: $25 \cdot 26 = 650.$ Тоді: $650 = 625 + h^2.$ $h^2 = 650 - 625 = 25.$ $h = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}.$

---

2. Обчислимо бічну поверхню:

Формула бічної поверхні: $S_{\text{бічна}} = 2h(a + b).$ Підставимо значення: $S_{\text{бічна}} = 2 \cdot 5 \cdot (15 + 20).$ $S_{\text{бічна}} = 10 \cdot 35 = 350 \, \text{см}^2.$

---

3. Знайдемо площу перерізу:

Переріз, проведений через діагональ основи і протилежну вершину іншої основи, є прямокутним трикутником, де:

• Катети: $a$ і $h$.
• Гіпотенуза: діагональ основи $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Обчислимо діагональ основи: $d_{\text{основи}} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{625} = 25 \, \text{см}.$

Площа трикутника: $S_{\text{перерізу}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h.$ Підставимо значення: $S_{\text{перерізу}} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 75 = 37.5 \, \text{см}^2.$

---

Відповідь:

а) Бічна поверхня паралелепіпеда: $S_{\text{бічна}} = 350 \, \text{см}^2.$

б) Площа перерізу: $S_{\text{перерізу}} = 37.5 \, \text{см}^2.$

---

Додаткові запитання:

1. Як знайти площу поверхні паралелепіпеда повністю?
2. Що означає поняття "переріз" у контексті геометричних тіл?
3. Як визначити довжину просторової діагоналі будь-якого паралелепіпеда?
4. Як змінилася б бічна поверхня, якщо висота була б іншою?
5. Яке практичне застосування знаходження перерізів у паралелепіпедах?

Порада: Переконайтеся, що всі одиниці вимірювання узгоджені під час обчислень, щоб уникнути помилок!