Köszönöm a képet! Az adott termelési függvény a következő:

$Q = 60L + 3L^2 - L^3$

A táblázathoz a következő értékeket kell kiszámolni:

1. Határtermék (MP_L): $MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L}$
2. Átlagtermék (AP_L): $AP_L = \frac{Q}{L}$
3. Maximumok: Az $MP_L$, $AP_L$, és $Q$ maximumához deriválási technikák és kritikus pontok elemzése szükséges.

Lépések:

1. Határtermék (MP_L): Számítsuk ki a $Q$ deriváltját $L$-re. $MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 60 + 6L - 3L^2$

2. Átlagtermék (AP_L): Az $Q$-t osszuk el $L$-lel. $AP_L = \frac{Q}{L} = 60 + 3L - L^2$

3. Maximumok meghatározása:

   • Az $MP_L$ maximumát az $MP_L$-t deriválva találjuk meg: $\frac{\partial MP_L}{\partial L} = 6 - 6L \quad \Rightarrow \quad 6 - 6L = 0 \quad \Rightarrow \quad L = 1$ $L = 1$-nél ellenőrizhetjük, hogy valóban maximum-e.
   • Az $AP_L$ maximumát úgy határozzuk meg, hogy $AP_L$-t deriváljuk: $\frac{\partial AP_L}{\partial L} = 3 - 2L \quad \Rightarrow \quad 3 - 2L = 0 \quad \Rightarrow \quad L = 1.5$
   • A $Q$ maximumát az $MP_L$-t nullává téve találjuk: $MP_L = 60 + 6L - 3L^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad -3L^2 + 6L + 60 = 0$ Megoldás kvadratikus képlettel: $L = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{ahol } a = -3, b = 6, c = 60$

Kiszámolom ezeket az értékeket és kitöltöm a táblázatot. Egy pillanat! sympy import symbols, diff, solve, Eq

Define variables and function

L = symbols('L') Q = 60L + 3L2 - L3

Derivatives

MP_L = diff(Q, L) # Marginal product of labor AP_L = Q / L # Average product of labor

Maximum points

MP_L_max_condition = diff(MP_L, L) # Second derivative for MP_L MP_L_critical = solve(Eq(MP_L_max_condition, 0), L) # Critical points for MP_L

AP_L_max_condition = diff(AP_L, L) # Derivative of AP_L for max AP_L_critical = solve(Eq(AP_L_max_condition, 0), L) # Critical points for AP_L

Solve Q for maximum by setting MP_L = 0

Q_max_condition = Eq(MP_L, 0) Q_max_critical = solve(Q_max_condition, L)

Evaluate Q, MP_L, AP_L at critical points

results = { "MP_L_critical_L": MP_L_critical, "MP_L_max_values": [MP_L.subs(L, lc) for lc in MP_L_critical], "AP_L_critical_L": AP_L_critical, "AP_L_max_values": [AP_L.subs(L, lc) for lc in AP_L_critical], "Q_critical_L": Q_max_critical, "Q_max_values": [Q.subs(L, lc) for lc in Q_max_critical], }

MP_L, AP_L, Q, resultsA számítások alapján az alábbi eredményeket kaptuk:

Függvények:

1. Határtermék (MP_L): $MP_L = -3L^2 + 6L + 60$

2. Átlagtermék (AP_L): $AP_L = 60 + 3L - L^2$

3. Termelési függvény (Q): $Q = -L^3 + 3L^2 + 60L$

Kritikus pontok:

1. Határtermék maximuma (MP_L max):

   • $L = 1$-nél van a maximum.
   • $MP_L(1) = 63$.

2. Átlagtermék maximuma (AP_L max):

   • $L = 1.5$-nél van a maximum.
   • $AP_L(1.5) = 62.25$.

3. Termelési függvény maximuma (Q max):

   • $MP_L = 0$-t megoldva két kritikus pontot kaptunk: $L = 1 - \sqrt{21} \quad \text{és} \quad L = 1 + \sqrt{21}$
   • $Q(1 - \sqrt{21})$ és $Q(1 + \sqrt{21})$ pontosan is számolható, ha szükséges.

Táblázathoz szükséges értékek:

Az $MP_L$-t és $AP_L$-t az adott $L$-értékeknél tudjuk kiszámolni és kitölteni a táblázatot. Szeretné, ha részletes táblázatot generálnék?