Ubah pecahan ini ke fungsi pecahan sebagian x+3/3x²+4x+1

Untuk mengubah pecahan \( \frac{x+3}{3x^2 + 4x + 1} \) menjadi fungsi pecahan sebagian, kita perlu memfaktorkan penyebut dan kemudian membaginya menjadi pecahan yang lebih sederhana.

1. **Langkah pertama**: Faktorkan penyebut \( 3x^2 + 4x + 1 \).

Untuk memfaktorkan, kita cari dua angka yang memenuhi syarat sebagai berikut:
- Produk dari \( a \times c = 3 \times 1 = 3 \)
- Jumlah dari kedua angka itu harus sama dengan \( b = 4 \)

Setelah mencari, kita mendapatkan pasangan angka \( 3 \) dan \( 1 \), jadi kita dapat menulis ulang:

\[
3x^2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)
\]

2. **Langkah kedua**: Pecah pecahan \( \frac{x+3}{(3x+1)(x+1)} \) menjadi fungsi pecahan sebagian:

Kita asumsikan bentuk umum pecahan sebagian adalah:

\[
\frac{x+3}{(3x+1)(x+1)} = \frac{A}{3x+1} + \frac{B}{x+1}
\]

3. **Langkah ketiga**: Temukan nilai \( A \) dan \( B \).

Kita satukan pecahan-pecahan di sebelah kanan:

\[
\frac{A}{3x+1} + \frac{B}{x+1} = \frac{A(x+1) + B(3x+1)}{(3x+1)(x+1)}
\]

Kemudian setarakan pembilangnya:

\[
A(x+1) + B(3x+1) = x + 3
\]

Perluas persamaan:

\[
A(x+1) = A \cdot x + A
\]
\[
B(3x+1) = 3B \cdot x + B
\]

Gabungkan:

\[
A \cdot x + A + 3B \cdot x + B = x + 3
\]

Kelompokkan koefisien \( x \):

\[
(A + 3B) \cdot x + (A + B) = x + 3
\]

Sekarang, samakan koefisien \( x \) dan konstanta:

\[
A + 3B = 1 \quad \text{(koefisien \( x \))}
\]
\[
A + B = 3 \quad \text{(konstanta)}
\]

4. **Langkah keempat**: Selesaikan sistem persamaan ini.

Dari \( A + B = 3 \), kita dapat menulis \( A = 3 - B \), lalu substitusikan ke dalam \( A + 3B = 1 \):

\[
(3 - B) + 3B = 1
\]
\[
3 + 2B = 1
\]
\[
2B = 1 - 3 = -2
\]
\[
B = -1
\]

Sekarang substitusikan nilai \( B = -1 \) ke \( A + B = 3 \):

\[
A - 1 = 3
\]
\[
A = 4
\]

5. **Langkah terakhir**: Masukkan kembali nilai \( A \) dan \( B \) ke dalam fungsi pecahan sebagian:

\[
\frac{x+3}{(3x+1)(x+1)} = \frac{4}{3x+1} - \frac{1}{x+1}
\]

Jadi, fungsi pecahan sebagian dari \( \frac{x+3}{3x^2 + 4x + 1} \) adalah:

\[
\frac{x+3}{3x^2 + 4x + 1} = \frac{4}{3x+1} - \frac{1}{x+1}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara mengatasi jika penyebut tidak bisa difaktorkan?
2. Apa itu metode penyelesaian sistem persamaan linier yang lebih cepat?
3. Bisakah fungsi pecahan sebagian digunakan dalam kalkulus?
4. Apa peran koefisien dalam penentuan nilai A dan B?
5. Bagaimana jika pembilang lebih besar dari penyebutnya?

**Tip:** Jika penyebut tidak bisa difaktorkan, gunakan metode **pembagian polinom** atau cari akar dengan rumus kuadrat.

Learn how to decompose the rational expression \( \frac{x+3}{3x^2 + 4x + 1} \) into partial fractions. This solution covers factoring quadratic expressions and solving systems of linear equations, suitable for Grades 9-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation