Untuk menyelesaikan masalah ini, kita harus menemukan nilai $A$, $B$, dan $C$ dengan menyamakan kedua sisi persamaan, menggunakan metode partial fraction decomposition (dekomposisi pecahan parsial).

Persamaan yang diberikan adalah:

$\frac{2X^2 + X + 2}{X^3 - 1} = \frac{AX + B}{X^2 + X + 1} + \frac{C}{X - 1}$

Langkah-langkah:

1. Faktorkan penyebut pada ruas kiri: $X^3 - 1 = (X - 1)(X^2 + X + 1)$ Jadi, persamaan menjadi: $\frac{2X^2 + X + 2}{(X - 1)(X^2 + X + 1)} = \frac{AX + B}{X^2 + X + 1} + \frac{C}{X - 1}$

2. Satukan pecahan di ruas kanan: Agar penyebut di ruas kanan sama dengan penyebut di ruas kiri, kita harus menyamakan penyebut pada kedua pecahan. Penyebut keseluruhan haruslah $(X - 1)(X^2 + X + 1)$, jadi kita satukan sebagai berikut: $\frac{AX + B}{X^2 + X + 1} + \frac{C}{X - 1} = \frac{(AX + B)(X - 1) + C(X^2 + X + 1)}{(X - 1)(X^2 + X + 1)}$

3. Kembangkan ruas kanan: Sekarang, kita akan mengembangkan pembilang di ruas kanan. $(AX + B)(X - 1) = AX^2 - AX + BX - B = AX^2 + (B - A)X - B$ $C(X^2 + X + 1) = CX^2 + CX + C$ Gabungkan semuanya: $AX^2 + (B - A)X - B + CX^2 + CX + C = (A + C)X^2 + (B - A + C)X + (-B + C)$

4. Samakan koefisien dengan pembilang di ruas kiri: Di sisi kiri kita punya $2X^2 + X + 2$, jadi kita bisa menyamakan koefisien dari $X^2$, $X$, dan konstanta.

   • Untuk $X^2$: $A + C = 2$
   • Untuk $X$: $B - A + C = 1$
   • Untuk konstanta: $-B + C = 2$

5. Selesaikan sistem persamaan: Sekarang kita punya sistem tiga persamaan: A + C = 2 \tag{1} B - A + C = 1 \tag{2} -B + C = 2 \tag{3}

   Dari persamaan (3), kita bisa nyatakan $B$ dalam bentuk $C$: $B = C - 2$

   Substitusi $B = C - 2$ ke persamaan (2): $(C - 2) - A + C = 1$ 2C - A - 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2C - A = 3 \tag{4}

   Sekarang substitusi $A = 2 - C$ dari persamaan (1) ke persamaan (4): $2C - (2 - C) = 3$ $2C - 2 + C = 3 \quad \Rightarrow \quad 3C = 5 \quad \Rightarrow \quad C = \frac{5}{3}$

6. Temukan nilai A dan B: Dari $A + C = 2$, kita dapatkan: $A = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$ Dari $B = C - 2$, kita dapatkan: $B = \frac{5}{3} - 2 = \frac{5}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{1}{3}$

Jadi, nilai $A$, $B$, dan $C$ adalah:

$A = \frac{1}{3}, \quad B = -\frac{1}{3}, \quad C = \frac{5}{3}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau punya pertanyaan?

---

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara melakukan dekomposisi pecahan parsial untuk persamaan yang lebih kompleks?
2. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linier dengan lebih dari tiga variabel?
3. Apa aplikasi dari metode dekomposisi pecahan parsial dalam kalkulus?
4. Bagaimana cara memfaktorkan polinomial kubik secara umum?
5. Apa metode alternatif selain pecahan parsial untuk menyederhanakan pecahan rasional?

Tip: Ketika memecahkan sistem persamaan linier, substitusi atau eliminasi variabel dapat membantu menyederhanakan perhitungan secara signifikan.