carilah diferensial parsial pertama dari z = ( x² - 5y ) ( 2y + 3 )

Untuk mencari diferensial parsial pertama dari fungsi \( z = (x^2 - 5y)(2y + 3) \), kita perlu menghitung turunan parsialnya terhadap \( x \) dan \( y \).

### 1. Turunan parsial pertama terhadap \( x \):

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (x^2 - 5y)(2y + 3) \right)
\]

Gunakan aturan turunan produk, yaitu:

\[
\frac{\partial}{\partial x} \left( f(x)g(x) \right) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\]

Dalam hal ini, \( f(x) = x^2 - 5y \) dan \( g(y) = 2y + 3 \).

\[
\frac{\partial}{\partial x}(x^2 - 5y) = 2x
\]
\[
\frac{\partial}{\partial x}(2y + 3) = 0
\]

Sehingga, turunan parsial pertama terhadap \( x \) adalah:

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = (2x)(2y + 3) = 2x(2y + 3)
\]

### 2. Turunan parsial pertama terhadap \( y \):

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( (x^2 - 5y)(2y + 3) \right)
\]

Kita gunakan kembali aturan produk. Untuk \( f(x) = x^2 - 5y \) dan \( g(y) = 2y + 3 \):

\[
\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - 5y) = -5
\]
\[
\frac{\partial}{\partial y}(2y + 3) = 2
\]

Sehingga, turunan parsial pertama terhadap \( y \) adalah:

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = (-5)(2y + 3) + (x^2 - 5y)(2)
\]

Sederhanakan:

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = -5(2y + 3) + 2(x^2 - 5y)
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = -10y - 15 + 2x^2 - 10y
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 - 20y - 15
\]

### Kesimpulan:
- Turunan parsial terhadap \( x \): \( \frac{\partial z}{\partial x} = 2x(2y + 3) \)
- Turunan parsial terhadap \( y \): \( \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 - 20y - 15 \)

Ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?  
Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara penggunaan aturan rantai pada turunan parsial?
2. Apa perbedaan antara turunan parsial dan turunan biasa?
3. Bagaimana cara menginterpretasikan turunan parsial dalam konteks geometri?
4. Mengapa aturan produk digunakan dalam diferensiasi parsial?
5. Bagaimana kita mengintegralkan fungsi yang melibatkan beberapa variabel?

**Tip**: Saat menghadapi diferensiasi parsial, pisahkan variabel yang tidak terlibat dalam proses turunan, karena mereka dianggap sebagai konstanta sementara.

Learn how to find the first partial derivatives of the function z = (x² - 5y)(2y + 3) with respect to both x and y. This problem demonstrates the use of the product rule and partial differentiation, key concepts in multivariable calculus. Ideal for students in Grades 11-12 or early college.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation