Partial Derivative of (∂f/∂r * cos(θ) - (1/r) ∂f/∂θ * sin(θ)) with respect to r

Math Problem Statement

∂r∂fcosθ−r1∂θ∂fsinθをｒで偏微分してください

与えられた式

$\frac{\partial f}{\partial r} \cos \theta - \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \sin \theta$

を $r$ で偏微分します。

まず、この式をそれぞれの項に対して $r$ で微分します。

= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} \cos \theta$$ ### 第二項: $$- \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \sin \theta$$ の $$r$$ に関する微分 $$\frac{\partial}{\partial r} \left( - \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \sin \theta \right) = - \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{r} \right) \frac{\partial f}{\partial \theta} \sin \theta = \frac{1}{r^2} \frac{\partial f}{\partial \theta} \sin \theta$$ これらを合わせると、結果は次のようになります。 $$\frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\partial f}{\partial r} \cos \theta - \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \sin \theta \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} \cos \theta + \frac{1}{r^2} \frac{\partial f}{\partial \theta} \sin \theta$$ このようにして、偏微分の結果を得ました。 ご質問やさらに詳しい説明が必要であればお知らせください。 ### 関連質問 1. 偏微分の基本的な定義とは何ですか？ 2. 極座標系での微分の扱い方について教えてください。 3. この結果を用いてラプラシアンを求めるにはどうすればよいですか？ 4. 偏微分方程式の応用例について教えてください。 5. 他の座標系（例：円筒座標系）での微分の変換はどのように行いますか？ ### ポイント 偏微分を行う際は、各項について順に微分を行い、特に積や商の形式に注意することが重要です。

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Partial Differentiation
Polar Coordinates

∂f/∂r * cos(θ) - (1/r) * ∂f/∂θ * sin(θ)
∂(∂f/∂r * cos(θ)) / ∂r = ∂^2f/∂r^2 * cos(θ)
∂(- (1/r) * ∂f/∂θ * sin(θ)) / ∂r = 1/r^2 * ∂f/∂θ * sin(θ)

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