Um die partielle Ableitung $\frac{\partial}{\partial x}$ und $\frac{\partial}{\partial y}$ des Ausdrucks $f(x, y) = y \cdot \ln(4x + 3y)$ zu berechnen und anschließend die Kreuzableitung zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor.

1. Partielle Ableitung von $f$ nach $x$:

Der Ausdruck ist $f(x, y) = y \cdot \ln(4x + 3y)$. Da $y$ hier eine Konstante in Bezug auf $x$ ist, verwenden wir die Produktregel:

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cdot \frac{1}{4x + 3y} \cdot 4 = \frac{4y}{4x + 3y}$

2. Partielle Ableitung von $f$ nach $y$:

Jetzt leiten wir $f(x, y)$ nach $y$ ab. Auch hier wenden wir die Produktregel an, da $y \cdot \ln(4x + 3y)$ ein Produkt von $y$ und $\ln(4x + 3y)$ ist.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \ln(4x + 3y) + y \cdot \frac{1}{4x + 3y} \cdot 3 = \ln(4x + 3y) + \frac{3y}{4x + 3y}$

3. Kreuzableitung

Die Kreuzableitung $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ wird gefunden, indem wir $\frac{\partial f}{\partial x}$ erneut nach $y$ ableiten.

Da $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{4y}{4x + 3y}$

leiten wir diesen Ausdruck nun nach $y$ ab:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{4(4x + 3y) - 4y \cdot 3}{(4x + 3y)^2} = \frac{16x + 12y - 12y}{(4x + 3y)^2} = \frac{16x}{(4x + 3y)^2}$

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Zusammenfassend haben wir: $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{4y}{4x + 3y}$ $\frac{\partial f}{\partial y} = \ln(4x + 3y) + \frac{3y}{4x + 3y}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{16x}{(4x + 3y)^2}$

Möchten Sie eine detaillierte Erklärung zu einem der Schritte?

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Vertiefende Fragen

1. Wie lässt sich die Produktregel bei partiellen Ableitungen verallgemeinern?
2. Warum verwendet man die Kettenregel für die Ableitung von $\ln(4x + 3y)$?
3. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit die Kreuzableitungen vertauschbar sind?
4. Wie interpretiert man die Kreuzableitung in praktischen Anwendungen?
5. Wie würde sich die Ableitung ändern, wenn der Logarithmus eine andere Basis hätte?

Tipp

In vielen Fällen kann die Kettenregel bei Ableitungen zusammengesetzter Funktionen helfen, potenziell komplexe Terme zu vereinfachen.