F(x,y)=ln(x+√x²+y²) (3,4) parcial de x

Para encontrar la derivada parcial de la función \( F(x, y) = \ln(x + \sqrt{x^2 + y^2}) \) con respecto a \( x \) en el punto \((3, 4)\), seguimos los siguientes pasos:

1. **Derivada parcial de \( F(x, y) \) respecto a \( x \)**:
   \[
   \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)
   \]

2. **Simplificación**:
   \[
   \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{x + \sqrt{x^2 + y^2}}
   \]

3. **Evaluación en el punto \((3, 4)\)**:
   - Calculamos \( x^2 + y^2 \) para \( x = 3 \) y \( y = 4 \):
     \[
     x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
     \]
   - Entonces, \( \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{25} = 5 \).
   - Sustituimos en la derivada parcial:
     \[
     \frac{\partial F}{\partial x}(3, 4) = \frac{1 + \frac{3}{5}}{3 + 5} = \frac{1 + 0.6}{8} = \frac{1.6}{8} = 0.2
     \]

**Respuesta**: La derivada parcial de \( F(x, y) \) respecto a \( x \) en el punto \((3, 4)\) es \( 0.2 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo se encuentra la derivada parcial respecto a \( y \)?
2. ¿Qué significa la derivada parcial en un contexto práctico?
3. ¿Cómo afecta el cambio en \( x \) a la función \( F(x, y) \) cerca de \((3, 4)\)?
4. ¿Cómo se simplifica la derivada parcial si \( y = 0 \)?
5. ¿Cómo encontrar las segundas derivadas parciales de \( F(x, y) \)?
6. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada parcial?
7. ¿Cómo se evalúa la derivada parcial en un punto diferente?
8. ¿Qué sucede con la derivada parcial si \( y \) es una función de \( x \)?

**Tip**: Al trabajar con funciones multivariables, es útil recordar que la derivada parcial respecto a una variable trata a las otras variables como constantes.

Learn how to find the partial derivative of the function F(x, y) = ln(x + sqrt(x^2 + y^2)) with respect to x at the point (3, 4). This involves using the formula for partial derivatives and evaluating it at specific coordinates. Suitable for advanced undergraduate students and those interested in calculus and multivariable functions.

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