Para encontrar la derivada parcial de la función $F(x, y) = \ln(x + \sqrt{x^2 + y^2})$ con respecto a $x$ en el punto $(3, 4)$, seguimos los siguientes pasos:

1. Derivada parcial de $F(x, y)$ respecto a $x$: $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)$

2. Simplificación: $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{x + \sqrt{x^2 + y^2}}$

3. Evaluación en el punto $(3, 4)$:

   • Calculamos $x^2 + y^2$ para $x = 3$ y $y = 4$: $x^2 + y^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
   • Entonces, $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{25} = 5$.
   • Sustituimos en la derivada parcial: $\frac{\partial F}{\partial x}(3, 4) = \frac{1 + \frac{3}{5}}{3 + 5} = \frac{1 + 0.6}{8} = \frac{1.6}{8} = 0.2$

Respuesta: La derivada parcial de $F(x, y)$ respecto a $x$ en el punto $(3, 4)$ es $0.2$.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

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Tip: Al trabajar con funciones multivariables, es útil recordar que la derivada parcial respecto a una variable trata a las otras variables como constantes.