Задача требует нахождения частной корреляции между $X_1$ и $X_2$ при условии, что сумма величин $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$, где величины $X_1, X_2, \dots, X_{12}$ одинаково распределены и независимы.

Частная корреляция — это мера связи между двумя переменными, когда влияние остальных переменных устраняется.

Обозначим:

• $X_1, X_2, \dots, X_{12}$ — одинаково распределенные и независимые случайные величины.
• $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$ — их сумма.

1. Формула для частной корреляции

Частная корреляция между $X_1$ и $X_2$ при условии суммы $S$ определяется как:

$\rho_{X_1, X_2; S} = \frac{{\text{Cov}(X_1, X_2) - \text{Cov}(X_1, S) \cdot \text{Cov}(X_2, S) / \text{Var}(S)}}{{\sqrt{ \text{Var}(X_1) \cdot \text{Var}(X_2) - \text{Cov}^2(X_1, S) - \text{Cov}^2(X_2, S) }}}$

2. Ожидаемые значения и ковариации

Пусть $\mu$ — математическое ожидание каждой из величин $X_i$, а $\sigma^2$ — их дисперсия. В силу независимости всех величин:

• $\text{Cov}(X_1, X_2) = 0$ (так как $X_1$ и $X_2$ независимы).
• $\text{Cov}(X_1, S) = \text{Cov}(X_1, X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}) = \text{Var}(X_1) = \sigma^2$.
• $\text{Cov}(X_2, S) = \text{Var}(X_2) = \sigma^2$.
• $\text{Var}(S) = \text{Var}(X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}) = 12 \cdot \text{Var}(X_1) = 12 \cdot \sigma^2$.

3. Подставим все значения в формулу частной корреляции:

$\rho_{X_1, X_2; S} = \frac{{0 - \sigma^2 \cdot \sigma^2 / 12 \cdot \sigma^2}}{{\sqrt{{\sigma^2 \cdot \sigma^2 - (\sigma^2 / 12)^2}}}} = \frac{{- \sigma^4 / 12 \cdot \sigma^2}}{{\sqrt{{\sigma^4 - (\sigma^2 / 12)^2}}}}$

Упростим выражение:

$\rho_{X_1, X_2; S} = \frac{{- \sigma^2 / 12}}{{\sqrt{{\sigma^2 - (\sigma^2 / 12)^2}}}}$

Далее упрощаем выражение в знаменателе:

$\sqrt{{\sigma^2 - (\sigma^2 / 12)^2}} = \sqrt{{\sigma^2 \left(1 - 1/144\right)}} = \sigma \cdot \sqrt{{1 - 1/144}} = \sigma \cdot \sqrt{{143/144}} \approx \sigma \cdot 0.997$

Теперь подставляем это в основное выражение для частной корреляции:

$\rho_{X_1, X_2; S} = \frac{{- \sigma^2 / 12}}{{\sigma \cdot 0.997}} = \frac{{- \sigma}}{{12 \cdot 0.997}} \approx \frac{{- \sigma}}{{11.964}}$

Таким образом, частная корреляция будет приблизительно равна:

$\rho_{X_1, X_2; S} \approx -0.0834$

Ответ: частная корреляция между $X_1$ и $X_2$ при условии суммы $S$ равна примерно $-0.08$.

Если нужно более подробно разобраться в каком-либо шаге или у вас есть другие вопросы, не стесняйтесь их задавать! Вот несколько дополнительных вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как найти частную корреляцию между случайными величинами, если они не независимы?
2. Что такое ковариация и как её вычислить?
3. Как изменится частная корреляция, если количество переменных в сумме изменится?
4. Что такое условная корреляция и как её вычисляют?
5. Почему для независимых величин ковариация равна нулю?

Совет: Помните, что при работе с частной корреляцией важно правильно учитывать зависимость между переменными, особенно если их влияние на результат может быть сложным.