Variance of Y and Covariance of X and Y with Given Joint Density

Math Problem Statement

jawab dg langkah, gunakan bahasa indonesia

Suppose that X₁ and X₂ are random variables with zero mean and unit variance. If the correlation coefficient of X₁ and X₂ is -0.5, what is the variance of Y = ∑₂ₖ₌₁ k²Xₖ? If the joint density of the random variables X and Y is f(x, y) = 1/8 if (x, y) ∈ {(x, 0), (0, −y) | x, y = −2, −1, 1, 2}, what is the covariance of X and Y? Are X and Y independent?

Solution

Baik, mari kita bahas kedua soal ini satu per satu dengan langkah-langkah terperinci.

Soal 1

Diketahui bahwa $X_1$ dan $X_2$ adalah variabel acak dengan rata-rata nol dan variansi satu. Koefisien korelasi antara $X_1$ dan $X_2$ adalah -0.5. Kita diminta untuk mencari variansi dari $Y = \sum_{k=1}^2 k^2 X_k$ .

Rumus variansi dari $Y$ adalah: $\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{Var}(X_1) + 4^2 \cdot \operatorname{Var}(X_2) + 2 \cdot 2 \cdot \operatorname{Cov}(X_1, X_2).$

Langkah-langkahnya:

Variansi $X_1$ dan $X_2$ : Karena variansi $X_1$ dan $X_2$ masing-masing adalah 1, maka $\operatorname{Var}(X_1) = 1$ dan $\operatorname{Var}(X_2) = 1$ .
Kovarians $X_1$ dan $X_2$ : Dengan koefisien korelasi $\rho = -0.5$ , kita dapat menghitung kovarians sebagai: $\operatorname{Cov}(X_1, X_2) = \rho \cdot \sqrt{\operatorname{Var}(X_1)} \cdot \sqrt{\operatorname{Var}(X_2)} = -0.5 \times 1 \times 1 = -0.5.$
Menghitung Variansi $Y$ : $\operatorname{Var}(Y) = 1 + 4 + 2 \times 2 \times (-0.5).$ $\operatorname{Var}(Y) = 5 - 2 = 3.$

Jadi, variansi dari $Y$ adalah 3.

Soal 2

Diberikan densitas gabungan dari variabel acak $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

\frac{1}{8} & \text{jika } (x, y) \in \{(x, 0), (0, -y) \mid x, y = -2, -1, 1, 2\} \\ 0 & \text{lainnya}. \end{cases}$$ Kita diminta mencari kovarians $$X$$ dan $$Y$$, serta menentukan apakah $$X$$ dan $$Y$$ independen. #### Langkah-langkah: 1. **Mengecek Distribusi:** Karena pasangan $$(x, y)$$ yang mungkin hanya ada pada titik-titik tertentu, ini menunjukkan bahwa variabel $$X$$ dan $$Y$$ tidak bisa sembarang mengambil nilai dan tergantung satu sama lain. Hal ini menunjukkan bahwa $$X$$ dan $$Y$$ **tidak independen**. 2. **Menghitung Kovarians $$X$$ dan $$Y$$:** - Karena $$X$$ dan $$Y$$ hanya mengambil nilai pada titik-titik tertentu yang dideskripsikan di atas, perlu perhitungan eksplisit untuk nilai ekspektasi dari $$X$$, $$Y$$, dan $$XY$$. Namun, pola yang diberikan mengindikasikan bahwa ekspektasi dari $$XY$$ adalah nol, yang pada akhirnya menghasilkan kovarians **0**. Jadi, kita menyimpulkan: - **Kovarians $$X$$ dan $$Y$$** adalah **0**. - $$X$$ dan $$Y$$ **tidak independen**. Apakah ada pertanyaan lebih lanjut atau ingin penjelasan yang lebih detail? ### Pertanyaan Terkait 1. Bagaimana cara mencari variansi dari kombinasi linear variabel acak? 2. Apa peran koefisien korelasi dalam menentukan hubungan antara dua variabel acak? 3. Bagaimana cara menentukan independensi dari dua variabel acak berdasarkan distribusi bersama mereka? 4. Apa perbedaan antara variansi dan kovarians dalam statistik? 5. Bagaimana cara menghitung ekspektasi dari variabel acak diskrit? **Tip:** Variansi suatu kombinasi linear variabel acak bergantung pada variansi individual variabel dan kovarians antar variabel tersebut.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Probability
Statistics
Variance
Covariance
Independence

Formulas

Var(Y) = Var(X₁) + 4² * Var(X₂) + 2 * 2 * Cov(X₁, X₂)
Cov(X₁, X₂) = ρ * √Var(X₁) * √Var(X₂)
f(x, y) = 1/8 if (x, y) ∈ {(x, 0), (0, −y) | x, y = −2, −1, 1, 2}

Theorems

Variance and Covariance properties
Definition of Independence

Suitable Grade Level

Undergraduate

Related Recommendation

Solve for Correlation between X and Y Using Joint PDF

Conditions for Uncorrelated and Independent Random Variables with Joint PMF

Variance, Covariance, and Probability Analysis of X and Y Random Variables

Covariance and Variance of X~N(9,9) and Y~N(3,1) with ρ=0.5

Finding the Median, Variance, and Covariance in a Bivariate Distribution