Diese Aufgabe bezieht sich auf die Schätzung des unbekannten Erwartungswerts (µ) und die Berechnung eines Konfidenzintervalls für µ, unter der Annahme, dass die Verteilung normal ist und die Varianz bekannt ist.

1. Schätzung des unbekannten Erwartungswerts µ

Da die Verteilung der Stiftlängen $X$ normalverteilt ist, und wir den Stichprobenmittelwert $\overline{X} = 10,2$ cm haben, können wir den unbekannten Erwartungswert $\mu$ durch den Stichprobenmittelwert schätzen. Für den Fall einer Normalverteilung ist der beste Schätzer für $\mu$ der Stichprobenmittelwert $\overline{X}$.

Also:
$\hat{\mu} = \overline{X} = 10,2 \text{ cm}$

2. Berechnung des 95%-Konfidenzintervalls für µ

Um ein Konfidenzintervall für $\mu$ zu berechnen, verwenden wir die Formel für ein Konfidenzintervall mit bekanntem Varianz $\sigma^2$:

$\overline{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Schritt 1: Bestimmung des z-Werts für das 95%-Konfidenzintervall

Für ein 95%-Konfidenzintervall ist der z-Wert $z_{\alpha/2}$ der kritische Wert aus der Standardnormalverteilung, der bei einem 95%-Intervall etwa 1,96 beträgt (dieser Wert kann aus einer Standardnormalverteilungstabelle abgelesen werden).

Schritt 2: Berechnung der Standardabweichung der Stichprobe

Die bekannte Varianz ist $\sigma^2 = 0,25 \, \text{cm}^2$, also ist die Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{0,25} = 0,5 \, \text{cm}$

Schritt 3: Berechnung des Standardfehlers

Der Standardfehler (SE) des Mittelwerts berechnet sich durch: $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,5}{\sqrt{16}} = \frac{0,5}{4} = 0,125 \, \text{cm}$

Schritt 4: Berechnung des Konfidenzintervalls

Nun können wir das Konfidenzintervall berechnen: $\overline{X} \pm 1,96 \cdot 0,125$ $10,2 \pm 1,96 \cdot 0,125$ $10,2 \pm 0,245$ Das 95%-Konfidenzintervall für $\mu$ lautet also: [ [10,2 - 0,245, 10,2 + 0,245] = [