В векторном пространстве R3
даны два геометрических вектора:

a⃗ =⎧⎩⎨⎪⎪2−12⎫⎭⎬⎪⎪
и b⃗ =⎧⎩⎨⎪⎪−2−1−1⎫⎭⎬⎪⎪

Найдите векторы x⃗
и y⃗
, удовлетворяющие условиям:

x⃗ ||a⃗
;

y⃗ ⊥b⃗
;

x⃗ −y⃗ =b⃗
.

Указание: Координаты векторов вводите в виде обыкновенных дробей в формате [x,y,z].

Для решения задачи найдем векторы \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \), удовлетворяющие данным условиям. Давайте разберем их по порядку:

### Шаг 1: Анализ условий

1. **Вектор \( \vec{x} \) параллелен \( \vec{a} \)**. Это значит, что вектор \( \vec{x} \) должен быть пропорционален \( \vec{a} \), то есть \( \vec{x} = k \cdot \vec{a} \) для некоторого скалярного множителя \( k \).
   
2. **Вектор \( \vec{y} \) перпендикулярен \( \vec{b} \)**. Это означает, что скалярное произведение \( \vec{y} \) и \( \vec{b} \) равно нулю: \( \vec{y} \cdot \vec{b} = 0 \).
   
3. **\( \vec{x} - \vec{y} = \vec{b} \)**. Это уравнение связывает \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \) с \( \vec{b} \).

### Шаг 2: Задание параметров вектора \( \vec{x} \)

Поскольку \( \vec{x} = k \cdot \vec{a} \), запишем это в координатах:
\[
\vec{x} = k \cdot [2, -1, 2] = [2k, -k, 2k].
\]

### Шаг 3: Задание параметров вектора \( \vec{y} \)

Запишем \( \vec{y} = [y_1, y_2, y_3] \) и применим условие перпендикулярности:
\[
\vec{y} \cdot \vec{b} = y_1 \cdot (-2) + y_2 \cdot (-1) + y_3 \cdot (-1) = 0.
\]
Преобразуем это уравнение:
\[
-2y_1 - y_2 - y_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y_1 + y_2 + y_3 = 0.
\]

### Шаг 4: Использование уравнения \( \vec{x} - \vec{y} = \vec{b} \)

Подставляем выражение для \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \):
\[
[2k, -k, 2k] - [y_1, y_2, y_3] = [-2, -1, -1].
\]
Распишем это по координатам:
1. \( 2k - y_1 = -2 \),
2. \( -k - y_2 = -1 \),
3. \( 2k - y_3 = -1 \).

### Шаг 5: Решение системы уравнений

Из первого уравнения:
\[
y_1 = 2k + 2.
\]

Из второго уравнения:
\[
y_2 = -k - 1.
\]

Из третьего уравнения:
\[
y_3 = 2k + 1.
\]

Подставим \( y_1 \), \( y_2 \), \( y_3 \) в уравнение перпендикулярности \( 2y_1 + y_2 + y_3 = 0 \):
\[
2(2k + 2) + (-k - 1) + (2k + 1) = 0.
\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
4k + 4 - k - 1 + 2k + 1 = 0,
\]
\[
(4k - k + 2k) + (4 - 1 + 1) = 0,
\]
\[
5k + 4 = 0.
\]
Отсюда:
\[
k = -\frac{4}{5}.
\]

### Шаг 6: Подстановка значения \( k \) в \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \)

Теперь найдем координаты \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \).

1. Вектор \( \vec{x} = [2k, -k, 2k] \):
   \[
   \vec{x} = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right), -\left(-\frac{4}{5}\right), 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \left[-\frac{8}{5}, \frac{4}{5}, -\frac{8}{5}\right].
   \]

2. Вектор \( \vec{y} = [y_1, y_2, y_3] = \left[2k + 2, -k - 1, 2k + 1\right]\):
   \[
   y_1 = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + 2 = -\frac{8}{5} + \frac{10}{5} = \frac{2}{5},
   \]
   \[
   y_2 = -\left(-\frac{4}{5}\right) - 1 = \frac{4}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{1}{5},
   \]
   \[
   y_3 = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + 1 = -\frac{8}{5} + \frac{5}{5} = -\frac{3}{5}.
   \]

### Ответ

\[
\vec{x} = \left[-\frac{8}{5}, \frac{4}{5}, -\frac{8}{5}\right],
\]
\[
\vec{y} = \left[\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}, -\frac{3}{5}\right].
\]

Пожалуйста, дайте знать, если вам нужны пояснения по каждому шагу.

---

1. Как найти скалярное произведение векторов в \( R^3 \)?
2. Какие еще способы существуют для проверки параллельности векторов?
3. Как определяется перпендикулярность векторов в пространстве \( R^3 \)?
4. Можно ли использовать другие методы для разложения вектора \( \vec{b} \) на параллельную и перпендикулярную компоненты?
5. Как изменится решение, если поменять местами условия для векторов \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \)?

**Совет:** Чтобы проверить точность вычислений, всегда подставляйте найденные значения обратно в исходные уравнения для проверки корректности решения.

В векторном пространстве R3 даны два геометрических вектора: a⃗ =⎧⎩⎨⎪⎪2−12⎫⎭⎬⎪⎪ и b⃗ =⎧⎩⎨⎪⎪−2−1−1⎫⎭⎬⎪⎪. Найдите векторы x⃗ и y⃗, удовлетворяющие условиям: x⃗ ||a⃗ ; y⃗ ⊥b⃗ ; x⃗ −y⃗ =b⃗ .

This problem explores vector space R3 by solving for vectors x⃗ and y⃗ that satisfy conditions of parallelism and perpendicularity. Follow a step-by-step solution involving vector operations, dot product calculations, and linear equations. Ideal for Grades 10-12 students familiar with advanced vector concepts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation