Для решения задачи найдем векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$, удовлетворяющие данным условиям. Давайте разберем их по порядку:

Шаг 1: Анализ условий

1. Вектор $\vec{x}$ параллелен $\vec{a}$. Это значит, что вектор $\vec{x}$ должен быть пропорционален $\vec{a}$, то есть $\vec{x} = k \cdot \vec{a}$ для некоторого скалярного множителя $k$.

2. Вектор $\vec{y}$ перпендикулярен $\vec{b}$. Это означает, что скалярное произведение $\vec{y}$ и $\vec{b}$ равно нулю: $\vec{y} \cdot \vec{b} = 0$.

3. $\vec{x} - \vec{y} = \vec{b}$. Это уравнение связывает $\vec{x}$ и $\vec{y}$ с $\vec{b}$.

Шаг 2: Задание параметров вектора $\vec{x}$

Поскольку $\vec{x} = k \cdot \vec{a}$, запишем это в координатах: [ \vec{x} = k \cdot [2, -1, 2] = [2k, -k, 2k]. ]

Шаг 3: Задание параметров вектора $\vec{y}$

Запишем $\vec{y} = [y_1, y_2, y_3]$ и применим условие перпендикулярности: $\vec{y} \cdot \vec{b} = y_1 \cdot (-2) + y_2 \cdot (-1) + y_3 \cdot (-1) = 0.$ Преобразуем это уравнение: $-2y_1 - y_2 - y_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y_1 + y_2 + y_3 = 0.$

Шаг 4: Использование уравнения $\vec{x} - \vec{y} = \vec{b}$

Подставляем выражение для $\vec{x}$ и $\vec{y}$: [ [2k, -k, 2k] - [y_1, y_2, y_3] = [-2, -1, -1]. ] Распишем это по координатам:

1. $2k - y_1 = -2$,
2. $-k - y_2 = -1$,
3. $2k - y_3 = -1$.

Шаг 5: Решение системы уравнений

Из первого уравнения: $y_1 = 2k + 2.$

Из второго уравнения: $y_2 = -k - 1.$

Из третьего уравнения: $y_3 = 2k + 1.$

Подставим $y_1$, $y_2$, $y_3$ в уравнение перпендикулярности $2y_1 + y_2 + y_3 = 0$: $2(2k + 2) + (-k - 1) + (2k + 1) = 0.$ Раскроем скобки и упростим: $4k + 4 - k - 1 + 2k + 1 = 0,$ $(4k - k + 2k) + (4 - 1 + 1) = 0,$ $5k + 4 = 0.$ Отсюда: $k = -\frac{4}{5}.$

Шаг 6: Подстановка значения $k$ в $\vec{x}$ и $\vec{y}$

Теперь найдем координаты $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

1. Вектор $\vec{x} = [2k, -k, 2k]$: $\vec{x} = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right), -\left(-\frac{4}{5}\right), 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \left[-\frac{8}{5}, \frac{4}{5}, -\frac{8}{5}\right].$

2. Вектор $\vec{y} = [y_1, y_2, y_3] = \left[2k + 2, -k - 1, 2k + 1\right]$: $y_1 = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + 2 = -\frac{8}{5} + \frac{10}{5} = \frac{2}{5},$ $y_2 = -\left(-\frac{4}{5}\right) - 1 = \frac{4}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{1}{5},$ $y_3 = 2 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + 1 = -\frac{8}{5} + \frac{5}{5} = -\frac{3}{5}.$

Ответ

$\vec{x} = \left[-\frac{8}{5}, \frac{4}{5}, -\frac{8}{5}\right],$ $\vec{y} = \left[\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}, -\frac{3}{5}\right].$

Пожалуйста, дайте знать, если вам нужны пояснения по каждому шагу.

---

1. Как найти скалярное произведение векторов в $R^3$?
2. Какие еще способы существуют для проверки параллельности векторов?
3. Как определяется перпендикулярность векторов в пространстве $R^3$?
4. Можно ли использовать другие методы для разложения вектора $\vec{b}$ на параллельную и перпендикулярную компоненты?
5. Как изменится решение, если поменять местами условия для векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$?

Совет: Чтобы проверить точность вычислений, всегда подставляйте найденные значения обратно в исходные уравнения для проверки корректности решения.